Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Разницу в подходах к этому сюжету и, соответственно, разницу в политических повестках каждого из трех новостных агентств, обнаружить несложно. В речи людей явно отражаются их партийно-политические пристрастия. А вот манипуляции с цифрами менее заметны. Статистику можно подобрать так, чтобы представить определенный взгляд на вещи – и сохранить при этом видимость объективности. Противоречащие выводу цифры просто игнорируются, и за счет выборочного использования данных искажается реальность. Иногда ненадежными оказываются сами исследования. Небольшие, нерепрезентативные или предвзятые выборки в сочетании с наводящими вопросами и выборочным представлением данных – вот рецепт недостоверного статистического исследования. Есть еще более тонкий прием – использовать статистику вне контекста: 300-процентный рост заболеваемости может означать и увеличение количества заболевших с одного пациента до четырех, и с 500 тысяч человек до двух миллионов. Контекст важен. Подвох не в том, что каждая иная интерпретация чисел является ложью сама по себе – напротив, каждая из них представляет собой маленький кусочек правдивой истории, которую кто-то представил в предпочтительном для него свете. Подвох в том, что это не вся правда. Нам остается попытаться собрать воедино истинную историю, стоящую за журналистскими перегибами.

В этой главе мы проанализируем и развенчаем уловки, ловушки и махинации в газетных заголовках, рекламных объявлениях и политической риторике. Более того, мы увидим, что схожие математические манипуляции применяются и там, где им вовсе не место, – при консультировании пациентов и даже в научных статьях. Мы представим простые способы распознать, когда от нас утаивают часть информации. Мы познакомимся с инструментами, которые помогут вскрыть манипуляции со статистикой. И в конце концов выясним, когда мы должны верить «правде».

Парадокс дней рождения

Самыми незаметными и часто эффективными математическими трюками являются те, в которых участие чисел даже не просматривается. Заявив, что «даты имеют особенное значение для исламских боевиков», Горка косвенно предложил читателям оценить шанс того, что два теракта пришлись на одну и ту же дату случайно, дав понять, что сам он считает это очень маловероятным. Реальный же ответ можно выяснить, проведя математический мысленный эксперимент под названием «парадокс дней рождения».

Этот парадокс формулируется так: «Сколько нужно людей, чтобы вероятность того, что хотя бы у двоих из них день рождения придется на одну дату, превысит 50 %?» Обычно, впервые столкнувшись с этим вопросом, люди останавливаются на числе 180, что примерно в два раза меньше количества дней в году. Дело в том, что в такой ситуации мы склонны прикидывать вероятность того, что дата рождения кого-то из «присутствующих» совпадет с нашей. Но 180 – это много. Слишком много. С учетом обоснованного предположения, что дни рождения распределены по дням года примерно равномерно, верный ответ – всего 23 человека. Фокус в том, что нас интересует не сама дата, на которую выпадает день рождения, а только возможные совпадения.

Чтобы понять, почему нужно так мало народа, для начала стоит подсчитать количество пар, которые образуются в комнате, – ведь мы ищем именно пару людей, у которых совпадает день и месяц рождения. Чтобы вычислить, сколько пар могут образовать 23 человека, представьте себе, что все они выстроились в ряд и начали по очереди пожимать друг другу руки. Первый человек пожмет руку 22 другим, второй – 21 человеку (с первым он уже это сделал), третий – 20 и так далее. Наконец, предпоследний человек пожимает руку последнему, а нам остается сложить 22 + 21 + 20 +… + 1. Для 23 человек это относительно просто, но когда людей в комнате будет больше 50, это станет уже несколько более утомительным. Такие суммы – последовательных целых чисел, начиная с единицы, – называются треугольными числами, поскольку их можно представить в виде упорядоченного треугольного массива, как мы это сделали на рис. 15. К счастью, для треугольных чисел есть простая и красивая формула. Для общего числа людей N в комнате число рукопожатий составит N×(N-1)/2. Для 23 человек это дает 23×22/2, или 253 пары. Когда пар так много, вероятность, что, хотя бы у одной из них дата рождения будет совпадать, составит больше 50 % – и это, пожалуй, уже не вызывает удивления.

Рис. 15. Количество рукопожатий между 23 людьми. Первый человек пожимает руку 22 другим, второй – 21, и так до тех пор, пока предпоследний не останется один на один с последним человеком, которому он еще не пожимал руку. Общее количество рукопожатий между 23 людьми – это сумма первых 22 целых чисел. Формула для треугольных чисел говорит, что 23 человека могут составить 253 пары