Ментальные привычки критически мыслящего человека

Представьте, что я пригласил вас в гости. Как вы поняли из кейса с Николаем, живу я в городе, в многоэтажном доме. Пусть это будет десятиэтажка. Предположим, моя квартира на шестом этаже. Итак, мы сидим с вами на кухне, пьем чай, о чем-то неспешно беседуем, как вдруг вы замечаете боковым зрением, что в окне что-то пролетело вниз. «Что это было?!» – испуганно спрашивает вы. «А вы догадайтесь. Есть два варианта: голубь или… свинья». Вы улыбаетесь. Ну конечно, это голубь, ведь свиньи не летают. Так-то оно так, но тут я показываю свой телефон и говорю: «А я успел сделать фото. Вот оно». И вы видите то самое окно, за которым, раскинув копыта в разные стороны, летит… свинья.

Изменили ли вы свое мнение? Конечно, нельзя сказать, что дополнительная информация в виде фото не оказала на вас никакого влияния. Разумеется, вы призадумались, но ваш ответ не изменился: это был голубь. И даже такой упрямый факт, как фото на моем телефоне, не может кардинальным образом изменить ваше мнение. А все потому, что свиньи не летают.

Конечно, можно предположить, что какие-то хулиганы сбросили свинью с крыши моего дома как раз в тот момент, когда мы с вами пили чай и мирно беседовали. Однако вероятность этого события столь мала, что любая дополнительная информация существенно не изменит ваше мнение. Свиньи так редко падают с крыш домов в городе, что даже фото этого события можно рассматривать как жульничество или розыгрыш, но никак не доказательство.

Теперь понятно, почему даже положительный результат диагностики не должен был кардинальным образом изменить мнение Елены о том, больна она или нет. Ведь болезнь редкая! Настолько редкая, что даже неоспоримый, казалось бы, факт не является решающим. Как мы убедимся дальше, вероятность того, что Елена действительно больна, менее 10 %.

Чтобы понять, как мы вышли на эту цифру, обратимся к преподобному Томасу Байесу.

Расчет вероятности редких событий

Томас Байес (1702–1761), английский математик, священник, автор формулы для расчета вероятности с учетом экспериментальных наблюдений, оставил после себя всего две книги. Первая, большая, сразу стала очень популярной. В ней Байес рассуждал о том, что и сегодня многим не дает спокойно спать, а именно – почему Бог, если он есть, допускает страдания и убийства ни в чем не повинных людей.

Вторая книга, небольшая, вначале мало кому показалась заслуживающей внимания, тем более что в ней были достаточно сложные формулы. В этой книжке Байес дал ответ на вопрос, как новые факты меняют наше первоначальное мнение о вероятности того или иного события. Или как новое условие (положительный результат диагностики) повлияет на нашу оценку вероятности заболеть редкой болезнью. С тех пор такая условная вероятность носит название байесовой.

Мы не будем здесь приводить формулу условной вероятности. Вместо нее давайте построим матрицу рассуждений, которая даст ответ на поставленный в начале главы вопрос: какова вероятность того, что Елена все же болеет той самой редкой болезнью.

Предположим, что мы случайным образом отобрали 10 000 человек. Нам известно, что болезнь эта крайне редкая и вероятность заболеть не превышает 0,8 %. Это означает, что из 10 000 только 80 человек априори больны, а оставшиеся 9920 здоровы (нижняя строчка матрицы).

По вертикали в нашей матрице будут два столбца: больные и здоровые. Как мы уже выяснили, всего больных 80, здоровых 9920. По горизонтали – результаты диагностики (положительный и отрицательный). Сколько людей, у которых положительный результат, реально больны? Если бы аппаратура никогда не ошибалась, то этот вопрос не имел бы смысла. Однако со слов врача мы знаем, что вероятность правильной диагностики не 100 %, а только 90 %.

90 % от 80 – это 72. Соответственно, оставшиеся 8 человек имеют отрицательный результат диагностики, но все же больны (первый столбец матрицы).

Смотрим далее. Сколько здоровых людей получили положительный результат диагностики? Ответ во втором столбце матрицы. Опять же, со слов врача мы знаем, что если болезни нет, то диагностика ошибочно покажет ее с вероятностью 7 %. А 7 % от 9920 – это 694. Оставшиеся 9226 людей не болеют и имеют отрицательный результат.

Таким образом, получается, что по причине несовершенства диагностической аппаратуры лишь 72 человека из 766, имеющих положительный результат, реально болеют. А 72 из 766 – это примерно 9,4 %. Таким образом, даже при положительном результате вероятность того, что вы больны, менее 10 %. Причина – очень низкое значение априорной вероятности (0,8 %).

Поэтому решение, которое приняла Елена, оказалось правильным. Низкая априорная вероятность означает, что шансов заболеть этой болезнью крайне мало, и даже положительный результат диагностики повышает эти шансы лишь до 9,4 %.