Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

Является ли семиотика чем-то надматематическим? С моей точки зрения, да, является, но семиотика имеет свою собственную область применения, т.е., она занимается только некими специфическими отношениями между математическими знаками. Содержательные утверждения математики, например теоремы – это очень непростая вещь. Теоремами обычно считаются утверждения, которые можно вывести из постулатов. С моей точки зрения, это неадекватное определение, потому что вывод из постулатов может быть осуществлен механически. Кроме того, в достаточно сложной системе постулатов есть невыводимые утверждения. Это устанавливает теорема Гёделя. В практике формальных логических систем часто существуют очень сложные утверждения, которые просто невозможно интерпретировать. Если взять модальную логику, то там существуют различные кванторы – квантор возможности, долженствования и т.д. В принципе, можно эти кванторы расставить один за другим – возможно, должно, необходимо. Но если поставить 3–4 таких квантора вместе, то такое логическое утверждение просто невозможно будет интерпретировать. В модальных логиках многие так называемые теоремы, которые выводятся из постулатов, просто неинтерпретируемы.

В математике, помимо таких чисто формальных утверждений, полученных путем вывода из постулатов, существуют настоящие теоремы. Настоящие теоремы – это такие утверждения, которые можно получить, если использовать независимо две различные системы постулатов, утверждения, которые устанавливают нетривиальные взаимосвязи между этими системами. Скажем, что такое теорема Пифагора? Это утверждение, что прямоугольник, построенный на гипотенузе, по площади равен сумме прямоугольников, построенных на катетах. Но можно написать это как чисто алгебраическое утверждение a² + b² = c², где a, b, c – числа, соответствующие сторонам треугольника. Можно понимать теорему Пифагора и как геометрическое утверждение, доказывая ее через анализ геометрических построений. То есть теорема Пифагора – это настоящая теорема, потому что есть два языка, в которых ее можно записать, и она дает возможность проникновения из одного мира (алгебры) в другой мир (геометрии). Каждый мир постулатов это замкнутый мир. Но если у вас появляется настоящая теорема, то это означает, что можно проникнуть из одного мира в другой. Почему, скажем, теория чисел считается королевой математики? Потому что теория чисел, казалось бы, имея дело с очень простыми вещами – числами, сложением, вычитанием, умножением, делением, позволяет сделать достаточно много нетривиальных утверждений выглядящих вполне элементарно. Высшая теория чисел широко использует математический анализ, метод тригонометрического разложения, теорию функций комплексных переменных и т.д. Совокупность утверждений, сделанных относительно всего числового ряда как целого, труднодоступна элементарным методам. Для того, чтобы сделать утверждение относительно всего числового ряда как целого, нужно перейти в другую систему постулатов, из другого мира посмотреть. А миры математического анализа к арифметике не сводятся. Это означает, что теория чисел обладает огромным потенциалом установления соответствия между различными математическими мирами.