Мёртвая вода. Часть 2

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только исключены из типичного вузовского курса в СССР[140], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методоло­ги­чески только математики-абстракционисты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными:  a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + b = 0 — задает плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость рассекает полное бесконечное во все стороны пространство на два “полупрос­тран­ства”, подобно тому, как удар ножом рассекает картофелину пополам. Замена знака равенства ( = ) в уравнении плоскости на знак неравенства (< , > , £ , ³ ) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из рассмотрения второго. При этом строгое неравенство ( < , > ) исключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое ( £ , ³ ) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остается прилепленным к одной из половинок “картофелины”).

Много неравенств — это вырезание бесконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n‑мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n ‑ 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n‑мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n‑мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причем выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом — трехмерный эквивалент такого n-мерного многогранника. Свойство выпуклости проявляется в том, что, если из любой точки на её поверхности картофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном направлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности — также линейная функция n переменных:

Z = r^TX_K = (r₁ , r₂ , ... , r_n)(X_K 1 , X_K 2 , ... , X_K n)^T =

= r₁X_K 1 + r₂X_K 2 + ... + r_nX_K n .

То есть скалярное произведение векторов r^TX_K в ортогональном базисе — также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁ , r₂ , ... , r_n . При этом вектор r=(r₁ , r₂ , ... , r_n)^T ортогонален (т.е. перпендикулярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = r^T X_K . Удаленность гиперплоскости от начала системы координат обусловлена значениемZ , являющимся свободным членом уравнения r^T X_K - Z = 0. При численно не определенном значении свободного члена Z этого уравнения пространство заполнено “пакетом” параллельных гиперплоскостей, каждая из которых “касается” соседних с нею двух. В трехмерной аналогии это — “слоеный вафельный торт”, в котором исчезающе тонкие вафли и прослойки начинки между ними — плоскости, различимые по значению Z каждой из них.

В задаче линейного программирования координаты точек, т.е. конкретный набор значений X_K 1 , X_K 2 , ... , X_K n , определяющий значение аргумента Z = r^T X_K  критерия оптимальности Min(Z), могут выбираться только из области, вырезанной  всем набором неравенств-ограничений из n-мерного пространства.