Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

ГРАДУСЫ И РАДИАНЫ

Радиан определяется как величина центрального угла окружности, длина дуги которого равна радиусу окружности. Эта величина составляет примерно 55 градусов 17 минут и 44 секунды. Радиан (часто обозначаемый как рад, rad) используется в качестве единицы измерения так называемой «круговой меры угла». Если круговая мера угла в радианах равна а, то угол будет равен 180°·а/ градусов, и наоборот если угол равен G°, то круговая мера угла составит ·G/180 радиан.

То есть угол в 360° полной окружности составит 2· радиан. В общем случае эти вычисления осуществляются следующим образом.

Если радиан соответствует 180°, то R радиан соответствует G°, что дает нам следующую пропорцию: /180 = R/G. Например, сколько радиан имеет угол в 30°? Подставляя в формулу, получим /180 = R/30, откуда находим R:

R = (30·/180) = /6 рад.

Мы также можем решить обратную задачу. Сколько градусов имеет угол в /4 радиан? Подставляя в формулу, получим

/180 = (/4)/G, откуда находим G:

G = ((/4)·180)/ = 45°

* * *

Применим теперь формулу для объема и получим:

V = (4··6350³)/3 = 1,072499199·10¹²·км³

С этими результатами мы можем вычислить площадь октанта, одной восьмой части земной поверхности. Просто разделим значение площади Земли на 8. Это дает нам 63336566,88 км².

Как мы видим, каждый октант очерчивает сферический треугольник с углами 90° = /2 радиан. Обратите внимание, что общая сумма составляет 270° = З/2 радиан (то есть более чем 180° =  радиан). Тогда чему будет равна каждая из сторон?

Каждая из сторон представляет собой дугу большого круга. Используя формулу для длины дуги, получим:

(·R) = (/2)·6350 = 9 974,2625 км

Этот же результат можно получить и другим способом: разделить длину большого круга на четыре (напомним, что длина окружности составляет 2R):

(2·6350)/4 = 9974,2625 км.

Ясно, что ту же процедуру можно повторить для Луны, радиус которой равен 1736 км.

* * *

ДЛИНА ДУГИ КРУГОВОГО СЕКТОРА

Для части окружности с центром O и радиусом r, изображенной на рисунке, обозначим угол, измеряемый, как правило, в радианах, а с — дугу между точками А и B. Тогда длина дуги выражается следующим образом: с = ·r.

Имея дело с длиной стороны сферического треугольника, мы обычно используем круговую меру угла, которую фактически нужно лишь умножить на радиус.

* * *

Вернемся к нашему общему вопросу. Геодезической линией называется кратчайшая линия, соединяющая две точки на поверхности и сама принадлежащая этой поверхности. На совершенно плоской, то есть евклидовой поверхности, геодезической линией является отрезок. Между двумя точками А и В на сферической поверхности из всех окружностей, проходящих через эти точки и расположенных на этой сфере, геодезической линией является большой круг. Другими словами, геодезическая линия получается путем пересечения сферы плоскостью АОВ. Таким образом, геодезическим отрезком между точками А и В является меньшая из дуг большого круга, проходящего через А и В. Обратите внимание, что случай с этим кругом — единственный, когда А и В не являются диаметрально противоположными точками.

В геометрии на сфере прямыми линиями являются дуги больших кругов. Таким образом, параллельные линии не существуют, так как большие круги всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках. Для наглядности достаточно взглянуть на дольки очищенного апельсина.

* * *