Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Работая над своими сложными математическими теориями, Бойяи и Лобачевский вывели тригонометрические выражения для гиперболической геометрии. Удивительным является тот факт, что, как и все остальное, они сделали это независимо друг от друга. Это свидетельствует об их гениальности, но также показывает, что результаты, которые они получили, действительно являются правильными.

Соотношения, выведенные Бойяи и Лобачевским, в малых областях могут быть сведены к формулам классической тригонометрии, но в других случаях они характеризуют новые, совершенно неисследованные миры.

Для переменной х гиперболический синус и гиперболический косинус определяются следующим образом:

Аналогично элементарной тригонометрии, гиперболический тангенс определяется следующей формулой:

th x = shx/chx

Здесь мы вкратце напомним так называемую теорему синусов.

В треугольнике со сторонами а, b и с и с углами А, В и С

справедливо следующее соотношение:

a/sin A = b/sin В = c/sin С

Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:

sin A/sha = sin B/sh b = sin С/sh c

Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:

и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.

Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что

ch(x + у) = chx·chy + shx·shy

аналогично традиционному выражению

cos(x + у) = cosx·cosy + sinx·siny

* * *

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin2x + cos2x = 1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:

ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ

В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х² + у² = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х² + у² = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.

Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х² — у² = 1, то х = ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х²  — у² = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».

Эти графики нам уже знакомы. Гипербола напоминает нам псевдосферу.

* * *

Что касается тангенсов, то можно показать, что

аналогично традиционному выражению

* * *

ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические тождества для суммы и разности выглядят следующим образом:

sin(x + у) = sinx·cosy + cosx·siny

cos(x + у) = cosx·cosy — sinx·siny

sin(x — y) = sinx·cosy — cosx·siny

cos(x — y) = cosx·cosy + sinx·siny

* * *

РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ

Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А = 8°, В = 22° и С = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.

Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22° + 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся гиперболической теоремой косинусов и получим