Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Это позволяет нам вычислить значение а. Для этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее

что дает нам длину b = 3,628644458. И наконец

К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.

* * *

Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.

По таблице традиционных тригонометрических тождеств можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии. Просто надо от функций sinх и cosх перейти к гиперболическим функциям shх и chх соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели, разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических синусов.

Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:

sh(x + у) = shx·chy + chx·shy

sh(x — у) = shx·chy — chx·shy

ch(x + y) = chx·chy + shx·shy

ch(x — y) = chx·chy — shx·shy

Классическая и гиперболическая тригонометрии

Как мы видели, гиперболическая тригонометрия похожа на традиционную, изучаемую в школе: обе имеют аналогичные соотношения. Приведенные ниже выражения содержат функции из обеих тригонометрий.

Рассмотрим треугольник с углами А, В и С и сторонами а, b и с, как показано на рисунке:

Для него справедливы следующие соотношения:

1) гиперболическая теорема косинусов для углов:

cosА = —cosВ·cosС + sinВ·sinС·chа;

2) гиперболическая теорема косинусов для сторон:

chа = chb·chс — shb·shс·cosА;

3) cosА = chа·sinВ;

4) /2 = .

Приведенные выше выражения также справедливы, если мы заменим а, Ь, с и А, В, С на Ь, с, а и В, С, А соответственно в результате так называемой круговой перестановки. Таким образом мы можем составить полную таблицу соотношений между традиционной и гиперболической тригонометриями.

Глава 6 Эллиптическая геометрия

Имя немецкого математика Бернхарда Римана вписано большими буквами в историю математики. Эллиптическая геометрия — это удивительное детище его математического гения. Именно он представил прямые линии на таких поверхностях, как шар или мяч для регби, в виде окружностей.

Третья геометрия

Поверхность эллипсоида наиболее часто используется для визуализации и интерпретации эллиптической геометрии, отсюда и термин «эллиптическая геометрия».

Чтобы наиболее ясно продемонстрировать свойства этой геометрии, мы рассмотрим поверхность сферы, которая представляет собой самый простой, частный случай эллипсоида.

С помощью эллипсоида можно представить эту геометрию в очень интересной форме. Рассмотрим сначала более подробно поверхность эллипсоида.

* * *

ЭЛЛИПС

Эллипсом называется такая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (так называемых фокусов) является постоянной

Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.

* * *

Эллипсоид получается путем вращения эллипса вокруг одной из его осей симметрии. Эллипсоид напоминает апельсин или лимон, а также планету Земля. Земля на самом деле является не сферой, а эллипсоидом, так как она приплюснута на полюсах. Однако для простоты мы будем считать земной шар идеальной сферой.

Для того чтобы понять следующий пример, нам придется включить воображение и вспомнить про Гулливера, путешествующего по стране лилипутов. Представим себе, что эти существа живут на поверхности эллипсоида, и им нужно сделать несколько измерений с помощью транспортира.

На поверхности эллипсоида нарисован треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С. Представьте себе, что два внутренних угла при основании треугольника равны 90° каждый, их измерили живущие на поверхности лилипуты с помощью гигантского транспортира. Верхний угол треугольника будет очень мал, но нам не нужно знать его величину в градусах, так как мы уже видим, что сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, больше 180°. Это противоречит одной из основных теорем геометрии Евклида: сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. В эллиптической геометрии все совсем иначе: сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, всегда будет больше 180°.