Многоликий солитон

Чтобы теперь понять — как устроены волны КдФ, нужно ввести простейшую мыслимую нелинейность. Мы знаем, что скорость линейных диспергирующих волн не зависит от амплитуды, а зависит лишь от длины волны. Скорость же распространения нелинейных волн зависит и от амплитуды. Самая простая зависимость — линейная, когда рост скорости прямо пропорционален увеличению амплитуды. Именно она и реализуется для волн КдФ, а будучи самой простой, естественно, встречается и во многих других физических системах. Забуски и Крускал обнаружили, что такая нелинейность хорошо описывает нелинейные взаимодействия атомов в решетке. Еще раньше, в 1958 г., советский физик Р. З. Сагдеев подметил аналогию между некоторыми волнами в плазме и волнами на мелкой воде и показал, что в плазме также могут распространяться уединенные волны. Плазмой в это время уже занимались многие физики, и это наблюдение не осталось незамеченным. Вскоре удалось показать, что эти волны в плазме также можно описывать с помощью КдФ-уравнения. Это решило судьбу КдФ-уравнения, которое было извлечено из забвения и стало известно широкому кругу физиков и математиков. Знаменитым оно стало после того, как 3абуски и Крускал выяснили, что оно описывает солитоны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и что можно найти его самое общее решение. Это удалось в 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре. От их работы обычно отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

_{Выглядит уравнение КдФ совсем не страшно. Форма волны y (t, х) в момент времени t должна подчиняться соотношению}

_{Здесь точкой обозначена производная по времени при фиксированном значении координаты х, а штрихом — производная по координате в заданный момент времени t. Если нарисовать зависимость профиля волны у от координаты, то этот график будет двигаться и деформироваться с течением времени. При этом у определяет наклон касательной к графику в точке х в момент}

t, а — скорость движения точки графика у (t, х) по направлению оси у. Если в некоторый момент времени t нам известна зависимость у от х (в том числе и производные у', y'', у'''), то уравнение позволяет найти скорости всех точек графика, так что можно приближенно определить его вид в следующий момент t + Δt

:

^{Решить такое уравнение — значит по начальному графику у (0, х) найти вид графика y (t, х) в любой последующий момент времени. Точное решение этой очень непростой математической задачи оказалось одним из наиболее замечательных достижений математики, которое стало возможным благодаря тесному и плодотворному сотрудничеству физиков, математиков и использованию ЭВМ.}

^{Нетрудно понять, что КдФ-уравнение описывает лишь волны, распространяющиеся в одном направлении вдоль оси х. Заметим сначала, что эффекты дисперсии определяются членом у", а нелинейные эффекты — членом у2. Если ими пренебречь, то получится совсем простое уравнение + v}

₀y' = 0, которое мы обсуждали в гл. 5. Как оказалось, самое общее решение этого уравнения — любая функция от х - v₀t, т. е. у (t, х) = f (х - v₀t

). Чтобы найти зависимость у от х в любой момент времени, достаточно нарисовать график функции у = f (х) и двигать его со скоростью v₀ (v₀ 0) в положительном направлении оси х. Чтобы описать волну, бегущую в противоположном направлении, нужно взять другой знак перед v₀.