Многоликий солитон

_{*) Как мы уже говорили, «досадным» исключением оставалась лишь гидродинамика.}

Почему линейность так упрощает решение задачи? Проще всего это понять на простых примерах. Рассмотрим уравнение ах + y = 0, решения которого — это пары чисел (x, у), при подстановке которых оно обращается в тождество. Ясно, что всякое решение можно записать в виде (х₀, -ax₀), где x₀ — произвольное число. Если изобразить решения точками на плоскости, то все решения лежат на прямой ОА, проходящей через точки О = (0, 0) и А = (1, -a). Если мы знаем только одно решение А, то, пользуясь линейностью, можно получить все решения умножением на произвольное число: х₀А = (х₀, -aх₀). Математик скажет, что совокупность всех решений этого уравнения образует линейное одномерное многообразие. Для определения всех его точек достаточно задать одну точку, отличную от О (0, 0), например, А = (1, -a). Если — две точки этого многообразия, то точка А₃ = c₁A₁ + с₂А₂ = , при любых с₁ и с₂ тоже принадлежит этому многообразию (т. е. точка А₃ тоже лежит на прямой ОА).

Точно также можно найти все решения уравнения ах + by + z = 0, т. е. тройки чисел (x, y, z), при подстановке которых уравнение обращается в тождество. Можно убедиться, что достаточно знать два решения, например, , а все остальные получаются их линейными комбинациями, т. е. . Это пример двумерного линейного многообразия. Геометрически можно изобразить его как плоскость в трехмерном пространстве (попробуйте проверить эти утверждения и нарисовать такую плоскость).

Рассмотрим теперь более близкий к физике пример колебаний грузика на пружине. Отклонение грузика от положения равновесия x(t) подчиняется уравнению Ньютона , где а(t) — ускорение грузика в момент t, ω₀ — круговая частота, ω₀ = 2π/Т, а Т — период колебаний грузика. Если x₁(t) и x₂(t) — два решения этого уравнения, описывающие какие-то два движения, то и любая их линейная комбинация  — тоже решение (т. е. х₃(t) — возможное движение) *). Совокупность всех решений также образует линейное многообразие.

_{*) Так как ускорение a(t) линейно зависит от x(t).}

Рассмотрим два движения: x₁(t) = cos(ω₀t) и x₂(t) = sin(ω₀t). Взяв , можно написать произвольную линейную комбинацию из x₁ и x₂: . Так получается самое общее выражение для отклонений грузика при колебаниях с амплитудой х_M и фазой φ. По аналогии с рассмотренными нами алгебраическими уравнениями можно сказать, что линейное многообразие возможных колебаний двумерно. Каждое колебание грузика можно представить точкой на плоскости (с₁, с₂), и эти точки также образуют линейное многообразие.

Над этими простыми примерами стоит как следует подумать. Важно понять, во-первых, что любое колебание грузика можно представить в виде суммы двух линейно независимых, т. е. не выражающихся друг через друга в виде линейных комбинаций колебаний x₁ = cos(ω₀t) и x₂ = sin(ω₀t) (вместо этих можно взять и другие линейно независимые решения). Наоборот, пусть известны два возможных колебания x₁(t) и x₂(t), отношение которых не постоянно, — такие колебания будут линейно независимыми. Тогда любое другое движение можно получить, подобрав подходящие числа с₁ и с₂ и складывая колебание  с₁x₁(t) с с₂x₂(t). Важно, что при этом не нужно знать даже само уравнение. Достаточно иметь два независимых колебания и знать, что выполнен принцип линейности или принцип сложения колебаний.

Если линейности нет, то все выглядит гораздо сложнее. Возьмем самое простое уравнение y² + аx² = 0. Сразу ясно, что многообразие решений (x, у) будет иметь совершенно разный вид при разных знаках а. При а  0 оно состоит из единственной точки О = (0, 0). При а = 0 — это точки, лежащие на оси Оx, т. е. точки (x₀, 0), где x₀ — любое число. Если же а  0, то все решения имеют вид или , или , т. е. лежат либо на прямой ОА, либо на прямой ОB (рис. 3.9).

Ясно, что в этом случае многообразие решений нелинейно. Например, сумма двух написанных решений с одним и тем же х₀ равна (2х₀, 0), а х = 2х₀, у = 0 не удовлетворяет нашему уравнению при .

Так обстоит дело в самом простом случае. При усложнении уравнения уже совсем не просто выяснить, имеет ли оно решения, и если имеет, то сколько и как эти решения зависят от параметров, входящих в уравнения. В нашей простой задаче единственный параметр — это число а. При а  0 есть только нулевое решение, при а = 0 решения образуют линейное многообразие, а при а  0 многообразие решений становится нелинейным. В этом примере нелинейное многообразие устроено слишком просто, но небольшое изменение уравнения (скажем, добавка к левой части слагаемого bх, где число b может быть очень малым) приводит к очень серьезным, качественным изменениям структуры множества решений (убедитесь в этом!).