Многоликий солитон

^{Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение  φ = φ_Msin(ω₀t) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t₀ (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как φ = φ_Msin[ω₀(t + t₀)].}

^{Нетрудно проверить, что это решение при любых t₀ удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение φ = φ_Msin(ω₀t) возможно, то и движение φ = φ_Msin[ω₀(t + t₀)] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором φ_M и t₀ можно задать любые начальные значения скорости и положения.}

^{Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ω₀ (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ω₀cos α, где α = ω₀t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка (OS) = sin ω₀t, и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу, т. е. v = ω₀cos(ω₀t). Полное ускорение α направлено к центру и равно  (радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу, т. е. . Таким образом, ускорение точки S равно . Если взять (OS) = φ, получим φ" = . Обозначив , находим, что φ = sin(ω₀t) есть решение линейного уравнения для малых колебаний маятника. Заодно вспомним, что период колебаний Т совпадает с временем полного оборота точки М по окружности, т. е. равен .}

Маятник Галилея

Эта формула, хорошо известная из школьного курса физики, была впервые найдена Гюйгенсом *). С точностью до числового множителя она, по-видимому, была известна уже Галилею. История ее открытия интересно и подробно описана в упоминавшейся в книге С. Г. Гиндикина, но с одним утверждением, сделанным в ней, можно поспорить. Там сказано (с. 39): «Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и частотой его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся как длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат, «руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении», но никто не знает, каким мог быть теоретический вывод. Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспериментально?» Принять это предположение было бы несправедливостью по отношению к Галилею. На опыте он лишь подметил зависимость периода от длины, но закон пропорциональности периода квадратному корню из длины нашел с помощью довольно остроумных рассуждений, которые представляют не только исторический интерес.

^{*) Гюйгенс получил ее другим способом, основанным на открытом им свойстве изохронности колебаний циклоидального маятника, а рассуждения, приведенные выше, использовал для определения ускорения точки, движущейся по окружности (о циклоидальном маятнике см. в книге: Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — 2-e изд. — М.: Наука, 1984. Библиотечка «Квант», вып. 14).}