Многоликий солитон

^{Основным для Галилея был найденный опытным путем закон равной продолжительности качаний маятников одинаковой длины, или изохронизм их колебаний (от греч. «изос» — равный, «хронос» — время). Для дальнейших рассуждений он использовал открытый им закон свободного падения и связь движения по наклонной плоскости со свободным падением. Если слегка модернизировать рассуждения Галилея, как это сделал Л. И. Мандельштам в своих замечательных «Лекциях по колебаниям», прочитанных в 1930 г., то можно даже получить формулу, похожую на формулу Гюйгенса.}

^{Заменим движение грузика по дуге АО из состояния покоя свободным движением по хорде АО (рис. 4.3). Тогда время t, затраченное на это падение, равно времени свободного падения из О" в О. Это следует из известного Галилею факта, что ускорение движения по катету прямоугольного треугольника относится к g, как длина ОА относится к длине (OO") = 2l (сообразите, почему). Так как , то четверть периода колебаний равна , а полный период . Галилей рассуждал несколько иначе и ограничился утверждением о пропорциональности времен скатывания по хорде АО и движения маятника по дуге ОА времени свободного падения по вертикали О"О, откуда он и вывел пропорциональность этого времени квадратному корню из длины маятника.}

^{Подлинное рассуждение Галилея легко понять из рис. 4.4. Время скатывания грузика по наклонной плоскости ОА₁А₂ пропорционально квадратному корню из длины ((OA₁) для первого маятника и (ОА₂) для второго). Эти длины ОА₁ и ОА₂ пропорциональны длинам маятников (O₁O) = l₁ и (O₂O) = l₂. С учетом закона свободного падения отсюда следует, что Т пропорционально  для подобных колебаний (т. е. с одинаковым максимальным углом отклонения φ).}

^{Используя изохронность, доказываем, что это верно для любых колебаний.}

Для малых колебаний рассуждения Галилея совершенно правильны. Малые колебания действительно изохронны. Как мы теперь понимаем, изохронность прямо следует из линейности. Действительно, если колебание с единичной амплитудой определяется функцией φ = sin (ω₀t), то колебание с амплитудой φ_M, в силу линейности, можно найти простым умножением на φ_M. Это и значит, что период остается неизменным. Остальная часть рассуждения Галилея особенно интересна тем, что в ней содержится намек на использование соображений о подобном поведении подобных систем. В ясном виде принцип подобия впервые сформулировали Ньютон и Гук. Это настолько полезная вещь, что стоит сделать небольшое отступление.

О подобии и размерностях

Малое с великим схоже,

Хоть и разнится на вид.

В. Гёте

Принцип подобия Ньютона—Гука оставался в забвении более ста лет, пока его не возродил Фурье в упоминавшейся выше работе «Аналитическая теория теплоты». Он ввел очень важные понятия размерности физической величины и принцип однородности по размерностям. Измерение всех механических величин сводится к измерению нескольких основных, в качестве которых обычно берут длину (размерность L), время (размерность Т) и массу (размерность М). Остальные величины назовем «производными».