Многоликий солитон

Нарисуем зависимость потенциальной энергии грузика U(φ) от его положения. В формуле (4.4) потенциальную энергию представляет слагаемое φ², а кинетическую Т — слагаемое (φ')²/ω₀². На графике удобнее откладывать отношения U/Е₀, Т/Е₀, Е/Е₀.

Отложим по горизонтальной оси отрезок ОА, длина которого равна φ(t), а в направлении вертикальной оси отложим отрезок (АА₂) = Е/Е₀, причем (АА₁) = U/Е₀, (А₁А₂) = Т/Е₀ (рис. 4.7, б). Так как полная энергия постоянна, то точка А₂ при изменении t будет двигаться по прямолинейному отрезку А₂М, а точка А' — по параболе (U(φ)/Е₀) = φ². На энергетической диаграмме видно, как перераспределяется полная энергия между кинетической и потенциальной составляющими при различных значениях φ и как амплитуда связана с полной энергией. Если нарисовать над энергетической диаграммой график φ(t) (рис. 4.7, α), то можно наглядно увидеть зависимость кинетической и потенциальной энергии от времени. Когда маятник движется из нижнего положения к крайнему правому, где φ = φ_M, изображающая точка А₂ движется направо до точки М, а затем возвращается налево. Как при этом меняются кинетическая и потенциальная энергия, видно достаточно ясно, но скорость определять не очень удобно (нужно вычислять квадратный корень из длины отрезка А₁А₂). Чтобы следить также и за положением и скоростью грузика, удобно представить движение еще одним способом.

Нарисуем под нашими двумя диаграммами еще одну, на которой по оси абсцисс по-прежнему будем откладывать значения φ, а по оси ординат отложим значения φ'/ω₀ в тот же момент времени (рис. 4.7, в). Тогда при движении грузика точка А₃ будет описывать окружность с радиусом, равным φ_M = . Это видно из уравнения (4.4), так как (ОА) = φ(t) и (АА₃) = φ'(t)/ω₀. В случае простого гармонического колебания (ОА) = φ_Msin(ω₀t), (АА₃) = φ_Mcos(ω₀t), и ясно, что точка А₃ вращается по окружности равномерно.

В этом месте внимательный, но нетерпеливый читатель воскликнет: «Но ведь это же очевидно! С этого начиналось описание гармонического колебания. Более того, мы вернулись просто к определению тригонометрических функций. Всем известно, что если точка равномерно движется по окружности единичного радиуса с угловой скоростью ω₀, то ее проекции на прямые, проходящие через центр, определяют тригонометрические функции. В данном случае сразу ясно, что (ОА) = φ_Msin(ω₀t)».

Все это, конечно, верно. Но дело в том, что нарисовать зависимость скорости φ' от положения φ можно, не только не решая уравнения маятника, но даже и забыв о его существовании. Достаточно знать закон сохранения энергии и выражение для энергии через координату и скорость, а это можно сделать не только для малых качаний маятника и не только для маятника! Пользуясь диаграммой зависимости скорости от положения, можно, наоборот, приближенно найти, как меняется положение точки со временем.

Диаграмму, на которой изображена зависимость скорости от координаты при различных значениях энергии, называют фазовой диаграммой. «Фаза» здесь означает состояние частицы, определяемое ее координатой и скоростью.

По фазовой диаграмме можно приближенно найти и график движения. Читателю полезно обдумать, как это сделать.

Язык фазовых диаграмм

Математика — тоже язык!

Приписывается Дж. У. Гиббсу

Язык для всех равно чужой,

И внятный каждому...

Ф. Тютчев

Основная ценность всего этого длинного, не самого простого и не самого красивого способа решения задачи о малых колебаниях маятника состоит, конечно, в том, что этим же способом можно изучить любые колебания. При этом на новом языке «большие» (нелинейные) колебания выглядят ненамного сложнее малых. Иными словами, новый язык лучше приспособлен для решения сложных задач, и его нужно изучать. Свободное владение языком означает, что при чтении вам не нужно переводить с него на родной. Поначалу этого достичь нелегко, и приходится заниматься переводом. С течением времени, попрактиковавшись в применениях этого языка, вы вдруг замечаете, что начинаете на нем думать, и необходимость в переводе возникает все реже и реже.