Моделирование канала коротковолновой радиосвязи

Если помеха, распределенная по нормальному закону, имеет математическое ожидание m_x=0 и некоторое среднеквадратическое отклонение от математического ожидания σ_х, то медианное значение огибающей этого процесса, m_E и среднеквадратическое отклонение от медианного значения σ_E, в соответствии с (44) и (47), всегда будут равны:

Для такого случайного процесса отношение всегда равно .

Поэтому, таким способом невозможно сформировать помеху с требуемыми параметрами огибающей.

Второй способ.

Рассмотрим формирование помехи посредством формирования двух случайных процессов, основного и сопряженного.

Итак, требуется сформировать некоторую случайную величину х(t), распределенную по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание m_x=0, среднеквадратическое отклонение σ_х, которое зависит от среднеквадратического отклонения огибающей. Определим параметры огибающей этой случайной величины посредством сопряженного процесса [1]. С помощью преобразования Гильберта можно найти некоторую случайную величину y(t), сопряженную с величиной x(t) [1]

(57)

Тогда случайную величину x(t) и ей сопряженную y(t) можно представить в виде [1]:

(58)

            (59)

где – огибающая случайного процесса,      (60)

– фаза случайного процесса.

(61)

Математическое ожидание случайной величины y(t) m_y=0, а среднеквадратическое отклонение σ_y=σ_х.

Определим среднеквадратическое отклонение огибающей σ_Е(t) случайного процесса и установим его связь со среднеквадратическим отклонением σ_х исходного случайного процесса.

В формуле (60) под знаком корня квадратного имеются две случайные величины, которые являются квадратичными функциями случайного процесса. Функция плотности вероятности для нормального закона имеет вид [4]:

(62)

Функция плотности вероятности для нормального закона при квадратичной функции случайного процесса приведена в [1] и для

u

(

t

)=

x

²

(

t

) и, соответственно, будет иметь вид:

(63)

при a=0 функция будет иметь вид:

(64)

Математическое ожидание этой квадратичной функции m_u вычислим как первый момент случайной величины:

(65)

и после подстановки пределов получаем:

(66)

Тогда математическое ожидание огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:

(67)

В данном случае математическое ожидание огибающей будет и ее медианным значением.

Дисперсию квадратичной функции D_u вычислим как второй момент случайной величины:

(68)

и после подстановки пределов получаем:

(69)

Тогда среднеквадратическое отклонение квадратичной функции будет равно:

(70)

Дисперсия огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:

(71)

Среднеквадратическое отклонение огибающей случайного процесса от медианного значения будет вычисляться по формуле:

(72)

Обратим внимание на то, что для случайной величины, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием m_x=0, параметры огибающей вычисляются по одной и той же формуле:

Это означает, что в шуме, моделируемом посредством основного и сопряженного процесса, формула (57), соотношение всегда будет равно единице. Поэтому этим способом также невозможно смоделировать случайный процесс с требуемыми параметрами огибающей.

Третий способ.

Рассмотрим еще один способ формирования помехи посредством формирования двух процессов: процесса, соответствующего среднеквадратическому отклонению от медианного значения огибающей, и процесса, соответствующего медианному значению огибающей.

Для этого сформируем случайные величины x(t) огибающей случайного процесса X(t), распределенные по нормальному закону с параметрами: m_x=0 и σ_x. Сформируем случайные величины y(t) случайного процесса Y(t), распределенного по равномерному закону в котором случайная величина может принимать только два значения: y(t)=± m_y. Вычислим случайные величины z(t)=x(t)+y(t), генерируемого процесса Z(t). Для формирования случайных величин x(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину x₁=rand, распределенную по равномерному закону в диапазоне [0,1], а затем по интегральной функции нормального закона распределения получить случайные величины x(t).

Для формирования случайных величин y(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину y₁=randi([0,1],1), распределенную по равномерному закону и имеющую значения только 0 и 1, а затем сформировать случайную величину y(t) по следующему закону:

y= m_y при y₁=1;

y= -m_y при y₁=0,

или наоборот, это значения не имеет.

Рассмотрим формируемую таким способом помеху. Плотность распределения формируемой случайной величины x(t), распределенной по нормальному закону, запишется в виде [4]:

(73)

Случайная величина y(t) распределена по равномерному закону и имеет всего два значения +m_y и –m_y, вероятность появления которых Р=1/2.

Суммарная случайная величина z(t)=x(t)+y(t)=x(t)±m_y, определена на двух интервалах: z≥0 и z≤0. При z≥0 случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами σ_x и плюс m_y, а при z≤0 с параметрами σ_x и минус m_y. С учетом вероятности появления положительных и отрицательных значений случайной величины ее плотность распределения можно записать в виде:

(74)

      (75)