Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов

В качестве элементов множества Т будут выступать элементарные высказывания, обозначаемые малыми латинскими буквами. Считать или не считать некоторое высказывание элементарным, зависит от нашей воли. Как станет ясно из дальнейшего, этот вопрос не имеет принципиального значения в рамках той дедуктивной системы, которую мы строим. Для описания процедур построения производных высказываний из элементарных, т.е. синтаксических, правил надо предварительно ввести знаки логических связок. В качестве таких связок будут выступать уже известные по первой главе конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, которые будем обозначать &, и (иногда заменяя, как и ранее, этот последний знак чертой сверху буквы, соответствующей элементарному высказыванию), а также новая связка, называемая импликацией, которую будем обозначать .

Сформулируем теперь совокупность синтаксических правил для исчисления высказываний.

1. Всякое элементарное высказывание является правильной совокупностью (будем говорить далее правильной формулой).

2. Если ? и ? являются правильными формулами, то правильными формулами являются также ?, (?&?), (??) и (??).

3. Других правильных формул в исчислении высказываний нет.

Между знаками логических связок , &, и и конструкциями естественного языка существует некоторая связь, которую проиллюстрируем на примерах. Воспользуемся стихотворением Давида Самойлова «Пестель, поэт и Анна». Вот его начало:

Там Анна пела с самого утра
И что-то шила или вышивала.
И песня, долетая со двора,
Ему невольно сердце волновала.

В этом четверостишии можно выделить четыре элементарных высказывания: a – «Там Анна пела с самого утра», b – «Что-то (Анна) шила», с – «Что-то (Анна) вышивала», d – «Песня, долетая со двора, ему невольно сердце волновала». В скобках мы ввели субъект, отсутствующий во второй строке приведенного отрывка. Общая логическая структура всего четверостишия может быть описана следующим образом: (а И (b ИЛИ c) И d). Большими буквами мы выделили союзы, которые в явной форме присутствуют в тексте Д. Самойлова. Можно ли от этой записи перейти к логическим связкам?

Вспомним, что такое конъюнкция и дизъюнкция. Во второй главе, определяя эти связки, мы говорили, что ?&? является истинным, если истинны оба утверждения ? и ?, а ?? является истинным, если истинно хотя бы одно из утверждений ? или ?. Такое определение связок позволяет перейти от структуры, в которой используются союзы И и ИЛИ, к записи ((a&(bc))&d), которая согласно синтаксическим правилам исчисления высказываний является правильной формулой этого исчисления. Правда, внимательные читатели могут усмотреть в этом переходе некоторую некорректность. Дело в том, что выражение ?? является истинным и тогда, когда одновременно ? и ? истинны. Но подобный случай в нашем примере невозможен. Анна либо шила, либо вышивала. Одновременно делать то и другое она не могла. Другими словами, одновременная истинность ? и ? должна была бы давать сигнал о ложности такого утверждения, а дизъюнкция утверждает, что оно истинно. Эту ситуацию можно исправить, введя связку, называемую разделительной дизъюнкцией. Но мы этого делать не будем, так как такая связка есть комбинация более простых связок, которые мы уже ввели: (?&?)(?&?).

Проверим, достигаем ли мы нужной цели с помощью данной комбинации. Если ? и ? ложны, то ложны правильные формулы (?&?) и (?&?) и, следовательно, по свойству дизъюнкции ложна и вся большая формула. Если же ? и ? одновременно истинны, то опять обе конъюнкции ложны, так как в них входят ложные высказывания, получающиеся из истинных путем отрицания, и, следовательно, вся дизъюнкция опять является ложной. И лишь тогда, когда из двух высказываний ? и ? одно истинно, а другое ложно, мы получаем истинность всего высказывания. После этого уточнения правильная формула исчисления высказываний, соответствующая нашему примеру, примет вид ((а&((b&c)(b&c)))&d).

Рассмотрим еще одну цитату из того же стихотворения: «…Если трон находится в стране в руках деспо?та, тогда дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Введем два элементарных высказывания: g – «Трон находится в стране в руках деспо?та» и h – «Дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Тогда логическая структура всего высказывания может быть представлена в виде (ЕСЛИ g ТОГДА h). Для перехода к правильной формуле исчисления высказываний воспользуемся импликацией. Раньше она не встречалась. По определению выражение ?? истинно во всех случаях, кроме того, когда ? истинно, а ? ложно. Другими словами, из истинности ? в импликации, которая является истинной, всегда следует истинность ?.