Его статьи и театральные рецензии печатались во многих журналах и газетах: «Новой мир», «Октябрь», «Красная новь», «Молодая гвардии», «Интернациональная литература» (на русском, английском и французском языках), «Правда», «Известия», «Литературная газета», «Советское искусство». Он редактировал книги и писал к ним предисловия.
Во время Великой Отечественно войны много сделал для пропаганды советской культуры за рубежом. Он часто выступал по английскому и американскому радио, работал для Совинформбюро.
В 1946 году Михаил Михайлович был избран членом совета и президиума Всероссийского театрального общества. С 1947 года он состоял старшим научным сотрудником Института истории искусств Академии наук СССР. Много лет проработал редактором советского англоязычного журнала «News».
Михаил Михайлович Морозов – один из основоположников современного российского шекспироведения, вдумчивый толкователь и комментатор драматургии У. Шекспира, которую в своей автобиографии он назвал «любимым делом». С 1928 года он проводил публичные чтения о Шекспире в Библиотеке иностранной литературы, а с 1937 по 1947 год возглавлял Кабинет Шекспира и зарубежного театра Всероссийского театрального общества (ВТО). Под его редакцией и в ВТО вышел ряд шекспировских сборников, посвященных судьбе постановок пьес этого великого британского драматурга на советской сцене. Михаил Морозов был одним из редакторов и соавтором «Истории английской литературы», подготовленной к печати в Институте мировой литературы Академии наук СССР. В 1941 году в издательстве Академии наук СССР вышел в свет сборник «Из истории английского реализма» с его статьей о языке и стиле Шекспира.
М. М. Морозов был одним из инициаторов издания «Шекспировских сборников» (первый выпуск вышел в 1947 г.), организовал девять шекспировских конференций. Эти конференции проходили даже во время Великой Отечественной войны. Таковой была IV Шекспировская конференция в 1942 году, которая вызвала широкий международный резонанс. После ее проведения было получено много приветствий от зарубежных коллег, деятелей театра и кино, научных и культурных организаций, шекспировских обществ. Свое искреннее восхищение мужеством советских ученых, говорящих о Шекспире в осажденной фашистами Москве, выразил Чарли Чаплин. На этой конференции М. М. Морозов выступил с докладом «Борьба за гуманизм в творчестве Шекспира». V Шекспировская конференция состоялась в ВТО через год (в апреле 1943 года), на ней М. М. Морозов сделал доклад «Советское шекспироведение во время Отечественной войны».
М. М. Морозов – автор целого ряда статей по истории английского поэзии и театральной драматургии, рецензий на советские театральные постановки. В книге «Комментарии к пьесам Шекспира» (1941) он совместил опыт театроведа и педантичного текстолога. Целью этой книги было оказание помощи актерам и режиссерам, работающим над театральным постановками шекспировских драм. Ученый утверждал, что «наука о Шекспире неразрывно связана с изучением театра и прошлого и настоящего», а российский театр считал «крупнейшим комментатором Шекспира». Работы Морозова связали между собой научное шекспироведение и театр, этой традиции последовали другие поколения отечественных шекспироведов.
Самое пристальное внимание в своих научных трудах Михаил Михайлович уделял анализу английского текста, он лично выполнил подстрочный комментированный перевод ряда пьес Шекспира («Отелло, венецианский мавр», 1944; с участием В. В. Левика – «Два веронца», 1945; «Конец – делу венец», 1946; при участии С. Я. Маршака – «Виндзорские насмешницы» для театра имени Вахтангова, 1951; «Трагедия о Гамлете, принце датском», 1954), пьес Шиллера, Мюссе.