На плечах гигантов

Соседство двух этих слов призывает читателя весьма осторожно обходиться с их смыслом. Ибо слово «невыразимый» не имеет здесь значения «благородный», как было бы в рассуждениях о богословских и божественных материях, а скорее означает «иррациональный», то есть низший по положению. Ведь в геометрии, как сказано в первой книге, много иррационального, что также не имеет никакой связи с божественным. Однако читателю следует вернуться к первой книге, чтобы вспомнить, что такое божественное отношение или божественное сечение. Ведь в иных отношениях, или пропорциях, участвует четыре члена, а в непрерывной пропорции – три; однако божественная пропорция требует единственного соотношения членов вне самой пропорции, а именно – чтобы два меньших члена составляли вместе больший член, как целое. Поэтому сколько в этом брачном союзе с додекаэдром отнимается, так как его пропорция иррациональна, столько же ему и возвращается, так как его иррациональность приближается к божественной. Кроме того, этот брачный союз соответствует объемной звезде, которую можно построить, продолжив пять граней додекаэдра до сведения в одной точке. О построении звезды см. книгу II.

Наконец, следует отметить отношение сфер, описанных вокруг этих тел, к сферам, вписанным в них. В случае тетраэдра это отношение рационально – 100 000: 33 333, или 3: 1; в брачном союзе куба оно иррационально, однако радиус вписанной сферы в квадрате рационален и сам представляет собой квадратный корень одной трети квадрата радиуса (описанной сферы), а именно 100 000: 57 735; в брачном союзе додекаэдра оно очевидно иррационально – 100 000: 79 465; в случае звезды – 100 000: 52 573, половина стороны икосаэдра или половина расстояния между двумя лучами.

2. О родстве между гармоническими отношениями и пятью правильными телами

Подобное родство проявляется разнообразно и многосторонне, однако у него есть четыре степени. Ведь либо родство определяется лишь по внешним признакам тел, либо при построении стороны тела возникают отношения, совпадающие с гармоническими, либо они следуют из уже построенных тел, взятых по отдельности или вместе, либо, наконец, они либо равны, либо приближаются к соотношению сфер, вписанных и описанных вокруг тел.

Пять платоновых тел, на которых, как считал Кеплер, зиждется Вселенная. Все они вписаны в сферу (как показано в отражающем хрустальном шаре).

При родстве первой степени пропорции, где больший член равен трем, родственны треугольным граням тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, а если больший член равен четырем, квадратной грани куба, а если пяти – пятиугольной грани додекаэдра. Подобие грани можно обобщить и на меньший член пропорции, то есть, когда одним из членов непрерывного удвоения служит 3, эта пропорция считается родственной трем вышеупомянутым телам, например, 1:3, 2:3, 4:3, 8:3 и так далее; а если это число 5, эта пропорция однозначно соответствует брачному союзу додекаэдра, например, 2:5, 4:5, 8:5, а также 3:5, 3:10, 6:5, 12:5 и 24:5. Родство становится менее вероятным, если это подобие наблюдается в сумме членов, как, например, в пропорции 2:3 сумма членов равна 5 и словно бы говорит о том, что отношение 2:3 родственно додекаэдру. Подобным же образом можно описать родство на основании внешнего вида пространственного угла: у первичных тел пространственный угол трехлинеен, у октаэдра четырехлинеен, у икосаэдра пятилинеен. Таким образом, если один член пропорции связан с числом 3, отношение будет связано с первичными телами, если с 4, то с октаэдром, и, наконец, если с 5, то с икосаэдром. Однако в женских геометрических телах это родство проявлено сильнее, поскольку характеризующая их фигура, скрытая внутри, следует форме пространственного угла: треугольник в октаэдре, пятиугольник в икосаэдре; поэтому 3:5 относится к икосаэдру и его сечениям по обеим причинам.

Вторую степень родства, по рождению, следует понимать так: во-первых, некоторые гармонические отношения чисел родственны тому или иному брачному союзу или семейству, а именно – идеальные отношения родственны единственному семейству куба, и наоборот, если отношение невозможно точно выразить в числах и нельзя показать численно любым другим способом, кроме длинной последовательности цифр, которая к нему постепенно приближается, то такое отношение называется божественным, если оно совершенно, и оно различными способами управляет брачным союзом додекаэдра. Подобным же образом это отношение отражают следующие консонансы, или гармонии: 1:2 и 2:3, а также 2:3 и 5:8. Ибо самым несовершенным образом это отношение выражено в 1:2, более совершенно – в 5:8, а еще совершеннее – если мы сложим 5 и 8 и получим 13, а затем сделаем 8 числителем, если это соотношение не перестанет быть гармоническим.