На плечах гигантов

Далее, при построении стороны тела следует разделить диаметр сферы, и тогда октаэдр требует бисекции, куб и тетраэдр – трисекции, а брачный союз додекаэдра – деления на пять. Подобным же образом отношения между фигурами распределяются в соответствии с числами, выражающими эти отношения. Однако квадрат диаметра тоже делится, то есть квадрат стороны тела формируется из определенной доли диаметра. А затем квадраты сторон сравниваются с квадратом диаметра, и соотношения получаются следующие: у куба 1:3, у тетраэдра 2:3, у октаэдра 1:2. По этой причине, если сопоставить два отношения, то кубическое и тетраэдрическое даст 1:2, кубическое и октаэдрическое 2:3, октаэдрическое и тетраэдрическое 3:4. Стороны додекаэдрического брачного союза иррациональны.

В-третьих, гармонические отношения во многом свойственны и уже построенным фигурам. Ведь можно сопоставить количество сторон грани с количеством ребер у тела в целом, и тогда получаются следующие отношения: у куба 4:12, то есть 1:3; у тетраэдра 3:6, то есть 1:2; у октаэдра 3:12, то есть 1:4; у додекаэдра 5:30, то есть 1:6; у икосаэдра 3:30, то есть 1:10. Можно также сопоставить количество сторон грани с количеством граней, и тогда куб даст 4:6, то есть 2:3; тетраэдр 3:4; октаэдр 3:6, то есть 1:2; а додекаэдр с его супругой 5:20 или 3:12, то есть 1:4. Можно также сопоставить количество граней с количеством пространственных углов, и тогда кубический брак даст 6:8, то есть 3:4, у тетраэдра отношение равно единице, у додекаэдрического брачного союза 12:20, или 3:5. А можно сравнить число всех сторон с числом пространственных углов, и у куба это отношение равно 8:12, то есть 2:3, у тетраэдра – 4:6, то есть 2:3, у октаэдра 6:12, то есть 1:2, у додекаэдра 20:30, то есть 2:3, а у икосаэдра 12:30, то есть 2:5.

Далее, можно сравнить друг с другом и сами тела, если тетраэдр поместить, то есть геометрически вписать, в куб, а октаэдр – в тетраэдр внутри куба. Тетраэдр составит треть куба, октаэдр – половину тетраэдра и одну шестую куба, точно так же как октаэдр, вписанный в сферу, составит одну шестую куба, описанного вокруг сферы. Отношения остальных тел иррациональны.

Четвертая же разновидность, или степень, родства сильнее связана с темой этой книги: следует найти отношение сфер, вписанных в тела, к сферам, описанным вокруг них, и рассчитать гармонические отношения, которые приблизительно их описывают. Ведь лишь у тетраэдра диаметр вписанной сферы рационален по отношению к описанной сфере, то есть составляет одну треть ее. Но в кубическом брачном союзе отношение (оно там единственно) рационально лишь в квадрате. Ибо диаметр вписанной сферы относится к диаметру описанной как квадратный корень отношения 1:3. А если составить отношения друг с другом, то отношения тетраэдральных сфер составляет квадрат отношения кубических сфер. В додекаэдрическом брачном союзе отношение опять же единственно, однако иррационально и чуть больше 4:5. Поэтому отношение сфер куба и октаэдра характеризуется следующими консонансами: оно 1:2 (чуть больше) и 3:5 (чуть меньше). А отношение додекаэдрических сфер приблизительно описывается консонансами 4:5 и 5:6 (чуть больше) и 3:4 и 5:8 (чуть меньше).

Но если по некоторым причинам 1:2 и 1:3 приписаны кубу, отношение сфер куба к отношению сфер тетраэдра будет таким же, как отношение консонансов 1:2 и 1:3, которые приписывались кубу, к 1:4 и 1:9, которые следует приписать тетраэдру, если пользоваться этой пропорцией. Ведь эти отношения также представляют собой квадраты этих консонансов. А поскольку 1:9 – не гармонический консонанс, его место в тетраэдре занимает ближайшее отношение 1:8. Однако, согласно этой пропорции, додекаэдрическому брачному союзу соответствуют приблизительно 4:5 и 3:4. Ведь подобно тому, как отношение сфер куба приблизительно равно кубу додекаэдрического отношения, кубические консонансы 1:2 и 2:3 примерно равны кубам консонансов 4:5 и 3:4. Ведь 4:5 в кубе равно 64:125, а 1:2 равно 64:128. Так же и 3:4 в кубе равно 27:64, а 1:3 равно 27:81.

3. Краткое изложение астрономических знаний, необходимых для рассуждений о небесных гармониях

В первую очередь моим читателям следует знать, что древние астрономические гипотезы Птолемея в том виде, в каком они изложены в «Новой теории планет» (Theoricae Novae Planetarum) Пурбаха, а также у других авторов кратких пособий, следует исключить из нашей дискуссии и начисто забыть, ибо они не передают ни истинного положения небесных тел в космосе, ни организации их движения.

Модели Птолемея, Коперника и Тихо Браге применительно к благо-приятным и неблагоприятным для здоровья периодам, согласным с положением планет. Раскрашенная гравюра из книги «Чудесный мир» (Mundi mirabilis) Иоганна Зана, математика и изобретателя. 1696 год.