На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Когда неизвестная функция зависит от одной переменной, как в случае с у(х), дифференциальное уравнение называется обычным. Когда она зависит от нескольких переменных, как f(x, у) или g(x, у, z), речь идет о дифференциальном уравнении с частичными производными, именно таким является уравнение Шрёдингера, которое зависит, главным образом, от трех пространственных и временной координат.

РИС. 9

РИС. 10

РИС. 11

Производные оказываются идеальным инструментом для описания законов природы. Расположение молекул воздуха изменяется совсем как температура какого-либо металла, атмосферное давление, количество радиоактивных ядер при распаде, плотность пластика, натяжение кожи барабана... Эти изменения могут быть внезапными или постепенными, прогрессирующими постоянно или происходящими мгновенно, циклическими или хаотичными. Цель ученого — определить правила этих изменений, локализовать их агентов и посредников, понять роль, которую они играют, и установить их скорость. Дифференциальные уравнения решают эту задачу математически четко и последовательно. Они часто описывают феномены, существование которых до сих пор было вне подозрений, начиная с физической наглядности или анализа ситуации. Иногда прибегают к помощи уравнений, чтобы составить новый сценарий и потом доказать, что еще не изученное явление, следуя собственным законам, развивается, исходя из изначально сформулированных предпосылок. Именно в этой роли производные используются как профессиональный инструмент химиков, инженеров, биологов и экономистов.

Язык производных

Смысл производных помогает расшифровать потаенный язык дифференциальных уравнений. Возьмем уже привычный пример:

с его решением: у(х) =у₀е^kx.

Возьмем самый простой случай:

Теперь, как можно увидеть из уравнения, касательная пропорциональна значению функции в каждой точке. Решение у(х) = е^х представлено на рисунке.

Несколько значений функции:

у(0) = е⁰ = 1

у(1) = е¹ = 2,72

у(2) = е² = 7,39

у(3) = е³ = 20,09

На самом деле мы констатируем, что у быстро возрастает при увеличении значения х и что у заставляет свою касательную принять такую же динамику (рисунок напротив).

Начиная с XVII века математический механизм, изучавший свойства функций и их производных, стали использовать в физике для прогнозирования, и этот способ предсказания до сих пор был неизвестен в истории науки. Физические соображения выражались в уравнениях, и математика давала ответ на вопрос, где будет располагаться планета Марс через пять столетий или пуля через долю секунды.

При попытке решить физические задачи использовались все грани анализа. Математики шли все дальше в джунгли дифференциальных уравнений, ведь там их ждали открытия.

Одним из первых их любопытство пробудило волновое уравнение. С реальностью его сближала музыкальная теория, поскольку уравнение описывало колебания струны, натянутой между подставкой и колками. Уравнение описывало поведение струны после прикосновения. Применение законов Ньютона вело к следующему выражению с частичными производными:

где р и Т— две постоянные (линейная плотность струны и сила, на нее воздействующая) и где а — пространственная и временная функция, соответствующая вертикальному расстоянию, отделяющему каждую точку струны от горизонтальной плоскости (рисунок 12).

Это уравнение допускает бесконечное множество решений. Некоторые из них приемлемы для математиков, но теряют физический смысл и потому отбрасываются; другие не удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, к примеру тому, что концы струны никогда не колеблются, что струна остается неподвижной до того момента, пока ее не коснутся или пока она не приобретет определенную форму Эти требования сокращают диапазон приемлемых решений, но также они квантифицируют значение частоты (v), с которой колеблется струна. При прикосновении к концам струны решениями являются волны, которые свободно распространяются по струне слева направо. Они могут это делать с любой частотой: тогда v является постоянной величиной. Однако при фиксации струны волны останавливаются между двумя краями, v прерывается и становится дискретной переменной. Диапазон ее значений кратен фундаментальной частоте, v1 звучание струны при этом может приближаться (через р и Т) к чистой музыкальной ноте (рисунок 13).

РИС. 12

РИС. 13