На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

где m — масса электрона и Е — энергия системы. Функция ψ связана с информацией относительно расположения электрона таким способом, который пока еще нельзя объяснить. Функция V(x) представляет любое воздействие Вселенной на электрон. Когда она равна нулю, предполагают, что электрон является свободным, но как только электрон приближается к ядру и оказывается связанным с атомом, функция V(x) перестает быть равной нулю и подчиняется электрическому присутствию протонов:

где Z — число протонов, идентифицирующее атом. Мы располагаем ядро в начале координат (х = 0) таким образом, что переменная х также означает расстояние, отделяющее нас от ядра. Введем это выражение в уравнение Шрёдингера:

Мы можем рассматривать V(x) как произведение постоянной (соединяющей К_c, Z и е²) и функции расположения 1/х:

где функция 1/х принимает вид как на рисунке 14 (стр. 89), на котором мы видим, что функция 1/х стремится к бесконечности при х = 0 и убывает до исчезновения, когда х становится очень большим числом.

Свободный электрон

Когда функция У исчезает, электрон становится свободным, и уравнение Шрёдингера сокращается до своей самой простой формы:

Это очень похоже на уже рассмотренное первое дифференциальное уравнение:

Из этого мы делаем вывод, что касательная у пропорциональна значению функции в каждой точке. Именно сейчас проявляется динамика изменения касательной функции ψ. Отметим, что при повышенном значении для Е (электрон с высокой энергией) вторая производная будет больше постоянной ψ. Мы окажемся в ситуации сжатой волны с малой длиной (см. рисунок 11, стр. 80). Если мы возьмем выражение де Бройля λ = h/p, то малая λ соответствует большой р (то есть повышенной скорости р = mv). И наоборот, малая Е приводит нас к случаю вытянутой волны, с большой длиной и, таким образом, низкой скоростью: электрон с низкой энергией. В уравнении (1) электрон, не испытывая никакого влияния окружающей среды, находится в состоянии, похожем на состояние свободной струны, и его частота постоянна. К тому же форма ψ очень похожа на волну, распространяющуюся в свободном пространстве. Энергия частицы также не является квантованной и предполагает бесконечный спектр значений.

График кривой показывает, что V оказывается принципиальным в уравнении, когда значение х мало (когда электрон блуждает около ядра). Если мы разделим число на другое, намного меньшее, чем единица, то получим в качестве результата большое число. Чем сильнее уменьшается знаменатель, тем больше становится коэффициент. Например:

И наоборот, если х увеличивается, коэффициент

уменьшается, пока не станет незначительным. Эти две тенденции показывают, что электрон подвержен воздействию притяжения, когда он находится поблизости от ядра (где V сильно увеличивается). И его присутствие едва заметно, когда он очень далеко (V уменьшается, пока не исчезнет). В последнем случае, когда V стремится к нулю, уравнение сокращается до того вида, который соответствует свободному электрону (рисунок 15).

Мы предполагаем, что в любой момент ядро находится в состоянии покоя (или что можно не обращать внимания на его скорость, как и на скорость электронов).

РИС. 14

РИС. 15

Действие V, связывающее электроны с ядром, равносильно тому, чтобы зафиксировать струну на подставке скрипки.

Так как функция а(х,t) должна быть равна нулю на концах или соответствовать форме струны до касания, существуют дополнительные условия к ψ. Она должна быть постоянной и ее значение должно стремиться к нулю при нахождении далеко от ядра. Настоящее значение этих условий будет раскрыто в следующей главе. В тот момент, когда условия будут выполнены, энергия системы будет квантована согласно формуле Бора. Функции решения ψ ведут себя так же, как стоячие волны, создавая в атоме стабильную ситуацию.