Начертательная геометрия: конспект лекций

3) две пересекающиеся прямые;

4) две параллельные прямые.

Итак, плоскость будет считаться заданной, если имеется на эпюре одна из перечисленных выше комбинаций элементов, определяющих данную плоскость (рис. 35 случаи 1, 2, 3, 4).

Все четыре способа задания плоскости равнозначны, так как легко имея одну комбинацию элементов, изображенную на рисунке 35 перейти к любой другой.

Если соединить одноименные проекции трех точек А, В и С, определяющих данную плоскость (рис. 35, случай 5), можно получить проекции треугольника ABC, лежащего в этой плоскости. Способ изображения плоскости в виде треугольника, не является принципиально новым, но обладает по сравнению с остальными четырьмя случаями большей наглядностью.

2. Следы плоскости

След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).

Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называют горизонтальным следом и обозначают P_h, а линию пересечения с фронтальной плоскостью – фронтальным следом и обозначают Р_v (рис. 37).

Иногда применяется и профильный след P_w – линия пересечения данной плоскости с профильной плоскостью.

Точки, в которых пересекается плоскость Р с осями проекций, называют точками схода следов. Р_х – точка схода следов на оси х, P_у – на оси у, а Р_z – на оси z (рис. 37). в точке Р пересекаются следы P_h и P_v и т. д.

Следы P_h и P_v плоскости Р являются прямыми, которые и лежат на горизонтальной и фронтальной плоскостях. Они имеют по одной из своих проекций, которые совпадают с осью х: горизонтальный след P_h – фронтальную, а фронтальный P_v– горизонтальную проекции.

Любую плоскость Р можно задать на эпюре с помощью указания положения двух ее следов – горизонтального и фронтального (рис. 38).

Следы P_h и P_v чаще всего изображаются парой пересекающихся или параллельных прямых и поэтому могут определять положение плоскости в пространстве.

3. Прямая, лежащая в данной плоскости

Прямая принадлежит плоскости Р в том случае, если любые две ее точки лежат в данной плоскости.

Например, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости, то прямая лежит в этой плоскости (рис. 39).

Рассмотрим построение прямой, лежащей в данной плоскости Р.

Первый способ. Возьмем на следах P_h и P_v по одной точке (рис. 40) и рассмотрим их как следы искомой прямой.

Рассматривая следы прямой, легко построить ее проекции.

Второй способ. Одну проекцию прямой, например горизонтальную 1, можно провести (рис. 40). Точки ее пересечения со следом P_h и осью х определят горизонтальные проекции h и v следов искомой прямой. Если соединить прямой фронтальные проекции h́ и v́ следов, можно получить фронтальную проекцию 1́.

4. Горизонтали и фронтали плоскости

Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями и фронталями.

Горизонталь плоскости Р (рис. 41) – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.

Три прямые – горизонталь Г, ее горизонтальная проекция г и горизонтальный след P_h плоскости Р – параллельны (рис. 42).

Действительно, горизонталь является прямой, параллельной горизонтальной плоскости, и поэтому не имеет горизонтального следа P_h, лежащего с ней в одной плоскости. При этом горизонталь Г не может пересечь свою горизонтальную проекцию г. В противном случае в этой точке пересечения она встречала бы горизонтальную плоскость, что противоречит определению, т. е. все три прямые Г, г и P_h параллельны.

Любая из плоскостей имеет множество горизонталей. Все горизонтали этой плоскости параллельны друг другу вследствие того, что все они параллельны прямой P_h.

Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости (рис. 43).

Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекция ф параллельна оси х.

Фронталь Ф, ее фронтальная проекция ф́ и фронтальный след P_v взаимно параллельны. У каждой плоскости есть бесчисленное множество фронталей. Все фронтали данной плоскости параллельны, за исключением плоскости, параллельной фронтальной плоскости.

5. Точка, лежащая в данной плоскости

Если необходимо построить некоторую точку в данной плоскости Р, то нужно предварительно провести в этой плоскости одну из прямых и на ней взять искомую точку.

Если задача обратная, т. е. необходимо узнать, лежит ли данная точка в плоскости Р, то нужно провести через эту точку какую-нибудь прямую, лежащую в этой плоскости. Если такую прямую провести нельзя, то исследуемая точка М не лежит в плоскости Р.