Нарративная экономика. Новая наука о влиянии вирусных историй на экономические события

В соответствии с разработанной ими простейшей моделью, популяция делилась на три группы: восприимчивые, инфицированные и выздоровевшие. Поэтому данная модель получила название «модель SIR» или «камерная модель». S в данном случае – это процент представителей популяции, которые восприимчивы к инфекции, ранее с конкретной болезнью не сталкивались и потенциально могут ею заразиться; I – процент заразившихся представителей популяции, способных заразить других и активно распространяющих инфекцию; R – процент выздоровевших представителей популяции, которые уже переболели и приобрели иммунитет и больше не могут заразиться или распространять болезнь. Случаи болезни, завершившиеся смертью, исходная модель не учитывала. В сумме перечисленные выше процентные показатели составляли 100 % (то есть 100 % = S + I + R), а численность популяции считалась постоянной величиной.

Согласно теории математического моделирования эпидемий Кермака – Маккендрика в масштабах тщательно перемешанной популяции, численность которой считается постоянной, скорость прироста числа заражений в ходе эпидемии болезни равна разности произведения показателя интенсивности заражения с, доли восприимчивого населения S и инфицированного I и произведения показателя интенсивности выздоровления r и доли инфицированного населения I. Каждый раз, когда восприимчивый человек встречает инфицированного, может произойти заражение. Когда численность популяции велика, заражения практически неизбежны. Частота таких встреч на определенном временном отрезке зависит от количества в популяции пар «восприимчивый-инфицированный», которое можно рассчитать, умножив показатели S и I (1). Состоящая из трех уравнений модель SIR Кермака – Маккендрика выглядит следующим образом:

dS/dt = – cSI

dI/dt = cSI – rI

dR/dt = rI

Алгебраического решения эта модель не имеет, возможны лишь приближенные расчеты (2).

Подобные уравнения также встречаются в химии, где они называются кинетическими уравнениями или последовательными химическими реакциями (3).

В модели, которая применялась в этой книге, коэффициент заразности равен произведению постоянного показателя интенсивности заражений c и меняющейся с течением времени доли восприимчивых людей S. Показатель интенсивности выздоровления r неизменен. Если мы разделим обе части второго уравнения на показатель доли зараженных людей I, мы увидим, что второе уравнение представляет собой не что иное, как утверждение о том, что скорость увеличения доли зараженного населения равна разности между коэффициентом заразности cS и скорости выздоровления (или забывания) r. Такой вывод вполне логичен: для того чтобы эпидемия нарастала, люди должны заражаться быстрее, чем выздоравливают, и резонно предположить, что коэффициент заражения будет зависеть от того, какова доля населения, восприимчивого к инфекции.

Рис А.1. Теоретическая оценка путей распространения эпидемии согласно модели SIR Кермака – Маккендрика для показателей I0 = 0,0001 %, c = 0,5, r = 0,05.

Толстые линии отражают процент инфицированного и распространяющего инфекцию населения. Модель не предполагает медицинского вмешательства; эпидемия заканчивается сама по себе, даже если к тому моменту в популяции остаются восприимчивые к инфекции и не переболевшие. Источник: расчеты автора.

Первое и третье уравнения очень просты. Первое уравнение говорит о том, что число восприимчивых к инфекции сокращается с каждым новым случаем заражения, поскольку восприимчивые становятся инфицированными. Суть третьего уравнения состоит в том, что число выздоровевших увеличивается с каждым новым выздоровлением, поскольку выздоравливая (или, как в нашем случае, забывая нарратив) человек превращается из инфицированного в выздоровевшего. Далее мы увидим, что эта простейшая модель, дающая базовое представление о путях распространения эпидемий, может быть преобразована с учетом увеличения численности популяции и иных факторов, характерных для конкретного эпидемического процесса.

Пример, который иллюстрирует рис. А.1, вытекает из трех упомянутых выше уравнений, где воздействию инфекции изначально подвергается один человек из миллиона (I₀ = 0,0001 %), а показатели c = 0,5 и r = 0,05. В этом случае инфицированной в конечном счете будет практически вся популяция. В ходе эпидемии внимание общественности, как правило, приковано к изменению количества зараженных, которое на рисунке отражает колоколообразная кривая. Кроме того, людей интересует изменение таких показателей, как количество новых зарегистрированных случаев болезни и скорость перехода из группы восприимчивых в группу инфицированных, которые также отражает колоколообразная кривая в том случае, если показатель r ненамного ниже показателя c. Работая с нарративами, мы сравниваем графики, отражающие количество слов и публикаций, с кривой заражения, подобной той, что изображена на рисунке.