Научная революция XVII века

«Определение III. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 24-25].

«Определение IV. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 25].

Первое среди этих определений, т. е. определение массы, неоднократно вызывало возражения. Многие видели в нем порочный круг: плотность есть количество материи на единицу объема. Э. Мах утверждал, например, что формулировка Ньютона равносильна констатации, что «масса есть масса», а А. Зоммерфельд назвал ньютоново определение «бессодержательным». Возможно, Ньютон действительно не очень четко сформулировал это понятие. Однако для него это не было столь существенным. Важно, что он все прекрасно понимал. В трактате «О тяжести и равновесии жидкостей», написанном в начале 70-х годов, мы находим следующее определение плотности: «Тела являются более плотными, если их инерция более сильная, и более разреженными, если их инерция более слабая» [16, с. 150].

Затем Ньютон вводит понятия абсолютного времени и абсолютного пространства. Он вынужден был прибегнуть к этому, так как считал, что Солнечная система покоится, а не движется равномерно. Кроме того, он думал, что существование абсолютного пространства обнаруживается в опытах вращательным движением.

Во втором предварительном разделе он дает «Аксиомы, или Законы движения» — то, что сегодня мы называем законами Ньютона:

«Закон I. Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон II. Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III. Действию всегда есть равное противодействие, или: действия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны» [17, I, с. 54—55].

За изложением Законов следует изложение Следствий — формулируется правило параллелограмма для сложения сил, законы сохранения количества движения и скорости центра тяжести, а также механический принцип относительности.

Отметим, что ньютоновская формулировка второго закона отличается от привычной для нас записи F = ma. Более того, Ньютон не говорит, как именно действует сила, и по-видимому, закон формулируется в предположении об импульсе силы. «Но по всему тексту “Начал” Ньютон использует закон для непрерывно действующей силы, включая тяготение. В действительности для Ньютона понятия импульса и постоянно действующей силы были инфинитезимально эквивалентны. Таким образом, существуют два условия действия сил во втором законе. Соответственно этот закон Ньютона может быть записан как f ~ d(mv) и в другой форме как f ~ d(mv)/dt, причем для этих двух видов записи требуется различный коэффициент пропорциональности. Две формулировки закона могут считаться эквивалентными вследствие ньютоновского понятия о равномерном течении времени, что делает dt некоторой вторичной константой, которая может быть произвольно включена в коэффициент пропорциональности» [18, с. 70].

Книга I открывается разделом, посвященным систематическому изложению теории пределов, которую Ньютон использует в «Началах». Доказательства теорем в этом разделе, как и во всей книге, даются в синтетико-геометрической форме, однако при внимательном чтении видно, «что скрытое математическое здание построено в манере целиком не-классической, при помощи предельных отношений бесконечно малых приращений рассматриваемых отрезков, координаты которых изменяются с изменением независимого параметра — времени» [6, VI, с. 24].

В последующих разделах доказывается второй закон Кеплера, а дальше рассматриваются различные задачи о движении тела в поле центральных сил. Среди них содержится ответ на вопрос, который Ньютону в свое время задавали Гук и Галлей, а именно, доказывается, что если тело движется в поле центральной силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, то его орбитой будет эллипс, парабола или гипербола. В разделе VIII получен результат, эквивалентный доказательству закона сохранения полной энергии в поле центральной силы, хотя в явном виде формулировки такой теоремы нет. В разделе XI методами теории возмущений рассматривается задача трех тел. В конце Книги I приводится теорема о том, что две тяжелые сферы притягиваются друг к другу как две точечные массы, а затем излагается теория притяжения эллипсоидов.