(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

На вероятность влияет тот факт, что событие произойдет, если или при условии, что произойдут другие события. В этом и заключается теория Байеса. Чтобы понять принцип ее действия, обратимся к другой задаче, которая имеет отношение к задаче о двух дочерях из главы 3. Предположим, что у двоюродной сестры двое детей. По условию задачи о двух дочерях вам известно, что один ребенок или оба — девочки, и вы пытаетесь вспомнить, как же оно на самом деле: одна девочка или две? Если в семье двое детей, какова вероятность (при условии, что один ребенок — девочка) того, что оба ребенка — девочки? В главе 3 мы не подходили к задаче с такой стороны, однако это «если» переводит задачу в плоскость условных вероятностей. Если бы это «если» отсутствовало, вероятность того, что оба ребенка — девочки, была бы равна 1 из 4 случаев, то есть 4 вариантов очередности рождения (мальчик, мальчик), (мальчик, девочка), (девочка, мальчик), (девочка, девочка). Однако дополнительные сведения о том, что в семье одна девочка точно есть, сводит вероятность к 1 из 3. И это потому, что если один из детей — девочка, для этой семьи существуют всего 3 возможных варианта — (мальчик, девочка), (девочка, мальчик), (девочка, девочка), и лишь 1 из 3 соответствует исходу, при котором оба ребенка — девочки. Возможно, это простейший способ понять идеи Байеса — все дело исключительно в подсчетах. Сначала надо обозначить пространство элементарных событий, то есть сделать список всех возможностей, а вместе с ними и их вероятностей, если они не равны (вообще-то способ хорош для решения любой запутанной задачи на тему вероятностей). Далее надо вычеркнуть те возможности, которые исключаются условиями (в данном случае условие: «хотя бы один ребенок — девочка»). В остатке: возможности и соответствующие им вероятности.

Возможно, все это покажется очевидным. Ничуть не усомнившись в своих силах, вы решите, что могли бы додуматься до этого и без помощи дражайшего преподобного Байеса, после чего дадите себе слово, что когда уединитесь в уборной в следующий раз, захватите почитать какую-нибудь другую книжку. Поэтому прежде чем мы продолжим, рассмотрим несколько измененную задачу про двух дочерей — ее решение может оказаться гораздо более неожиданным^{103}.

Вариант таков. В семье двое детей; какова вероятность того, что если один из детей — девочка по имени Флорида, то и другой ребенок тоже девочка? Да, вам не показалось: я назвал девочку Флоридой. Может, вы и подумаете на имя, что оно выбрано наугад, на самом деле это не так — кроме того, что оно обозначает название штата, где полно кубинских иммигрантов, апельсинов и пожилых людей, которые меняют свое просторное жилье в северной части страны на радость обозревать пальмы и играть в бинго, это еще и настоящее имя. В самом деле, оно входит в 1 000 самых популярных женских имен за первые тридцать лет прошлого века в Америке. Я выбрал его совсем неспроста, потому что часть загадки заключается в вопросе: есть ли что-то в имени Флорида, что влияет на вероятность, и если есть, то что? Однако я забегаю вперед. Прежде чем мы продолжим, обдумайте такой вопрос: если брать задачу с девочкой по имени Флорида, остаются ли шансы на семью из двух девочек такими же: 1 из 3 (как в задаче с двумя дочерьми)?

Ответ отрицательный, и я вкратце объясню, почему. Тот факт, что одну из девочек зовут Флорида, меняет шансы на 1 из 2. Может, вам сложно представить такое, однако не стоит переживать по этому поводу. Ключ к пониманию случайности, да и вообще математики заключается не в том, чтобы решить любую задачу мгновенно на интуитивном уровне, а воспользоваться соответствующими средствами и вычислить ответ.

Те, кто сомневался в существовании Байеса, были правы в одном: Байес не опубликовал ни одного научного труда. О его жизни нам известно немного, возможно, он занимался математикой в свое удовольствие и не испытывал потребности в собеседниках. В этом отношении и в некоторых других они с Якобом Бернулли были полными противоположностями. Бернулли сопротивлялся изучению богословия, а Байес совмещал теологию и математику. Бернулли гнался за славой, а Байеса она совершенно не привлекала. И, наконец, теорема Бернулли решает следующий вопрос: сколько получится орлов, если планируется произвести много бросков идеальной монеты, в то время как Байес исследовал первоначальную цель Бернулли — вопрос о том, насколько можно быть уверенным в том, что монета идеальна, если выпадает определенное число орлов.