Небесный землемер

Зато их действительные размеры всегда можно определить по новому адресу, в который, кроме уже известных трех опознавательных знаков — геодезической долготы, широты и азимута, входит еще один: длина проектирующего луча, то есть расстояние от поверхности Земли до эллипсоида.

Отсюда треугольники надо переселить теперь на плоскость — начертить карту Земли.

Если бы наша планета представляла собой цилиндр или конус, тогда это не составило бы больших трудностей. Достаточно разрезать по вертикали бок у цилиндра или провести ножом от верхушки до основания конуса, как они, развернувшись, легко уложатся на листе бумаги.

Но попробуйте сделать плоской кожуру от апельсина. Края ее обязательно разорвутся: ни шар, ни эллипсоид не развертываются на плоскости без разрывов или складок. Поэтому треугольники, измеренные на поверхности Земли и спроецированные на эллипсоид, переносят вначале на боковую поверхность цилиндра или конуса, а уже ее разворачивают, превращая в плоскость. Причем для большей точности переносят не все полушарие сразу, а каждую узкую полоску шириной в 3° или, самое большее, 6° на свой цилиндр. Цилиндр как бы надевают на земной шар так, чтобы он касался выбранной полоски своей внутренней стороной. Но касаться он может только середины такой полосы, а ее края загибаются круче и уходят из-под цилиндра.

Предположим, основание треугольника как раз и очутилось на этой середине. Тем самым оно уже оказывается перенесенным на цилиндр. Вершина же треугольника осталась на краю нашей полосы, ниже поверхности цилиндра: ее переносят на него, как бы поднимая по вертикальной нити, и соединяют затем с другим концом основания. Треугольник переселился с эллипсоида на цилиндр.

Теперь этот цилиндр «снимают» с земного шара, разрезают по вертикали и развертывают на листе бумаги. Выпуклое раньше основание треугольника выпрямилось и стало прямым. И такие же прямые линии соединяют основание с вершиной. Чертеж куска земной поверхности готов.

Иногда в качестве посредника выбирают какую-нибудь более сложную фигуру: например, многоугольник или сразу несколько конусов, совмещенных друг с другом. И тогда карты Земли принимают фантастический вид.

На одной земной шар похож на какую-то диковинную репу, на другой он напоминает чудовищный волчок. Одни картографы надрезают земной эллипсоид в нескольких местах и развертывают потом отдельные лепестки материков наподобие огромного, напоминающего звезду цветка. Другие чертят Землю в виде гигантского гриба. И это так же закономерно, как и рисовать ровные полушария, к которым мы так привыкли, или располагать материки и океаны параллельными полосами на квадратном листе. Ведь такие замысловатые формы картографы выбирают не ради прихоти: они стараются возможно вернее передать все особенности земной поверхности.

Но чем-то всегда приходится жертвовать. На одних картах пытаются правильно изобразить очертания материков и океанов, но при этом страдают их размеры. На других — сохраняют их величину, зато искажается форма.

Поэтому, несмотря на то, что предложены буквально тысячи способов изображения круглой Земли на плоскости (только в советской картографии их применяется свыше ста), ни один из них не передает вполне правильно чертеж Земли.

Все карты верно передают только очень небольшой участок поверхности планеты, самую середину, которой коснется, скажем, цилиндр, сильно искажая все, что лежит с краю. И правильные полушария так же далеки от истинного чертежа Земли, как и самый фантастический «гриб». Поэтому пользоваться картами очень трудно, и самой верной моделью Земли остается все-таки шар глобуса, хотя и он, как известно, отражает далеко не все особенности формы нашей планеты.

Откуда берутся ошибки на карте, станет понятным, если вспомнить, что на эллипсоиде мы оставили выпуклый треугольник, у которого стороны — это дуги разной кривизны, а на листе бумаги получили обычный плоский треугольник, стороны которого — прямые линии. Адрес его вершин был указан в градусах, а теперь превратился в линейное расстояние от осей x и y. Могло ли это превращение обойтись без погрешностей?

Дуги, соединяющие вершины углов треугольника на эллипсоиде, так же как и стороны обычных плоских треугольников, — это кратчайшие расстояния между двумя точками, только не на плоскости, а на выпуклой поверхности. Может показаться поэтому, что ничего страшного в подмене их друг другом нет.

Но хотя геодезические линии, как называют эти дуги, и выполняют на кривой поверхности роль прямых на плоскости, они все же не равны им по длине.

Наше представление о том, что самая короткая линия — прямая, вообще очень относительно. Если бы надо было кратчайшим путем перебраться, скажем, с подножья горы на ее склоны, то нам пришлось бы решать ту же головоломку, что и мухе из задачника, которую заставляли переползти с одной стены на другую по самой короткой дороге. Ею окажется вовсе не прямая, а ломаная линия.