Ноль: биография опасной идеи

Никто не знает, когда индийцы приняли вавилонскую позиционную систему счисления. Самое раннее упоминание об индийских цифрах можно найти у сирийского епископа, который писал в 662 году о том, что индийцы производят вычисления «посредством девяти знаков». Девяти, а не десяти. Очевидно, ноль не входил в их число. Однако утверждать с уверенностью трудно. Можно предположить, что индийские цифры были в ходу до того, как о них написал епископ. Имеются свидетельства, что к этому времени ноль стал появляться в каких-то вариантах, хоть епископ об этом и не слышал. Как бы то ни было, символ для ноля — символ-заместитель в десятеричной системе — к IX веку определенно был в употреблении. К тому времени индийские математики совершили огромный скачок. Они немногое позаимствовали из греческой геометрии; у них не было особого интереса к плоским фигурам, которые так обожали греки. Они не беспокоились о том, рациональна или нет диагональ квадрата; не изучали они и конические сечения, как это делал Архимед. Однако они узнали, как играть с числами.

Индийская система счисления позволяла использовать причудливые приемы при сложении, вычитании, умножении и делении без использования абака. Благодаря позиционной системе они могли складывать и вычитать большие числа примерно так же, как мы делаем сегодня.

При наличии тренировки человек мог, пользуясь индийскими цифрами, умножать быстрее, чем считающий на абаке. Соревнования между абакистами, считающими на абаке, и алгористами, как называли пользующихся индийскими цифрами, были средневековым эквивалентом матча между Каспаровым и «ДипБлю» (рис. 15). Как и «ДипБлю», алгористы в конце концов выигрывали. Хотя индийская система счисления была полезна в повседневных делах, позволяя складывать и умножать, ее истинное влияние было гораздо более глубоким.

Рис. 15. Алгорист против считающего на абаке

Числа наконец отделились от геометрии, они стали использоваться для большего, чем просто измерение объектов. В отличие от греков индийцы не видели квадратов в квадратных числах или площади треугольника, перемножая две величины. Вместо этого они видели взаимодействие чисел — чисел, лишенных их геометрического значения. Это было рождением того, что теперь мы знаем как алгебру. Хотя такой склад ума не позволил индийцам много внести в геометрию, он имел другое, неожиданное следствие. Он освободил индийцев от недостатков греческой системы мышления — и, в частности, отвержения ноля.

Поскольку числа лишились своего геометрического значения, математики могли больше не беспокоиться насчет того, что какие-то математические операции не имели геометрического смысла. Вы не можете скосить три акра травы с поля в два акра, но ничто не мешает вам вычесть три из двух. Сегодня мы знаем, что 2 — 3 = –1 (отрицательная величина). Впрочем, для древних это вовсе не было очевидно. Много раз, решая уравнения, они получали отрицательный результат и заключали, что их решение не имеет смысла. В конце концов, если вы мыслите в терминах геометрии, что такое отрицательная площадь? Для греков это была просто бессмыслица.

Для индийцев же отрицательные числа смысл имели. Действительно, именно в Индии (и в Китае) впервые появились отрицательные числа. Брахмагупта, индийский математик VII века, приводя правила деления, включал в рассмотрение и отрицательные числа. «Положительное число, деленное на положительное, или отрицательное, деленное на отрицательное, дают положительный результат, — писал он. — Положительное, деленное на отрицательное, есть отрицательное. Отрицательное, деленное на положительное, есть отрицательное». Это те же правила, которые мы признаем сегодня: при делении одного числа на другое результат положителен, если числа имеют одинаковый знак, и отрицателен, если разный.

Как 2 — 3 считалось числом, так и 2 — 2 было числом для индийцев. Это был ноль. Не просто символ-заместитель, обозначавший пустое место на абаке, а число. Ноль имел собственное значение и фиксированное место на числовой оси. Поскольку ноль был равен 2 — 2, то он должен был находиться между (2 — 1) и отрицательным числом (2 — 3). Ничто другое не имело смысла. Ноль больше не мог располагаться справа от девяти, как это имеет место на компьютерной клавиатуре; ноль занимал свое собственное место на числовой оси. Числовая ось больше не могла существовать без ноля, как не могла существовать система счисления без числа 2. Ноль наконец-то явился.