Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Индекс i здесь использован просто для того, чтобы отличать все различные координаты импульсов ( р₁, p ₂,  p ₃,  p ₄…) и положений ( х₁, х ₂, x₃, x ₄…). Для n частиц, не ограниченных наложенными на них связями, мы получаем  3n координат импульсов и  3n координат положений (по одной координате для каждого из трех независимых направлений в пространстве). Символ ∂ относится к операции «частного дифференцирования» (взятию производной по одной переменной при сохранении постоянных значений всех остальных переменных), а Н, как сказано выше, означает функцию Гамильтона. (Если Вы ничего не знаете о «дифференцировании» — не стоит беспокоиться. Просто рассматривайте правые части уравнений Гамильтона как некие вполне определенные математические выражения, записанные через x _i и p _i.)

Координаты x₁, x₂… и, р ₁, p ₂,…. могут на самом деле использоваться для обозначения более общих вещей, а не только обычных декартовых координат для частиц (т. е. когда x_i — обычные расстояния, измеряемые по трем различным направлениям, расположенным под прямыми углами друг к другу). Например, некоторые из x_i в гамильтоновом случае можно считать углами — тогда соответствующие р_i превращаются в угловые моменты (см. гл.6, подгл. «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака») вместо импульсов — или вообще какими-нибудь совершенно абстрактными величинами. Замечательно, что при этом гамильтоновы уравнения по-прежнему сохраняют в точности ту же форму. Действительно, при подходящем выборе функции Гамильтона Н гамильтоновы уравнения остаются в силе для любой системы классических уравнений, а не только для уравнений Ньютона. В частности, они выполняются для теории Максвелла(—Лоренца), к рассмотрению которой мы вскоре приступим. Гамильтоновы уравнения можно записать и для специальной теории относительности. Даже общую теорию относительности (при соблюдении должной осторожности) можно представить в гамильтоновой форме. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем при знакомстве с уравнением Шредингера (см. гл.6, подгл. «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака»), гамильтонова формулировка служит отправным пунктом для вывода уравнений квантовой механики. Такое единство формы в структуре динамических уравнений, сохранившееся несмотря на все революционные новшества, введенные в физические теории за минувшие столетия, поистине удивительна!

Фазовое пространство

Форма гамильтоновых уравнений позволяет нам «наглядно представить» эволюцию классической системы, используя весьма мощный и универсальный подход. Попытаемся вообразить «пространство» большого числа измерений, по одному измерению

на каждую из координат x₁, x ₂… p _i, p ₂…

(Математические пространства часто имеют размерность выше трех.) Такое пространство называется фазовым пространством(рис. 5.10).

Рис. 5.10. Фазовое пространство. Каждая точка  Q фазового пространства описывает полное состояние некоторой физической системы, включающее в себя мгновенные движения всех ее частей

Для n свободных частиц размерность фазового пространства равна 6n(по три координаты положения и по три координаты импульса для каждой частицы). Читателя может обеспокоить то, что даже для одной-единственной частицы размерность фазового пространства оказывается вдвое большей, чем мы обычно привыкли представлять! Но секрет успеха заключается в том, чтобы не пасовать перед трудностями. Конечно, шестимерное пространство действительно имеет бо́льшую размерность, чем та, которую можно с ходу (!) представить — но даже если бы могли себе его представить, то пользы от этого оказалось бы немного. Например, всего лишь для комнаты, полной молекул газа, размерность фазового пространства могла бы равняться, например, такой величине:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Попытка наглядно представить себе пространство столь высокой размерности заранее обречена на провал! Так что лучше даже и не пытаться делать это даже в случае фазового пространства для одной-единственной частицы. Просто представьте себе несколько расплывчатую трехмерную (или даже всего лишь двумерную) область. Взгляните еще раз на рис. 5.10. Этого вполне достаточно.