Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Рис. 5.12. Область в фазовом пространстве соответствует диапазону возможных значений пространственных координат и импульсов всех частиц. Такая область может представлять отдельное отличимое состояние (т. е. «альтернативу») какого-нибудь устройства

Предположим теперь, что наше устройство стартует из точки фазового пространства, принадлежащей некоторой области R₀. которая соответствует одной из таких возможностей. Мы будем считать, что область  R₀ перемещается вдоль гамильтонова векторного поля до тех пор, пока в момент времени t она не переходит в область R_t Представляя себе такое развитие событий, мы тем самым описываем эволюцию нашей системы во времени при всех возможных начальных состояниях, соответствующих одной и той же альтернативе (рис. 5.13).

Рис. 5.13. С течением времени область  R₀ фазового пространства, увлекаемая вдоль векторного поля, переходит в новую область R_t. Это может служить описанием эволюции во времени некоторого определенного состояния нашего устройства

Вопрос об устойчивости(в том смысле, в каком мы трактуем устойчивость здесь) сводится к вопросу о том, остается ли с ростом t область R_t локализованной или начинает расплываться по всему фазовому пространству. Если область R_t со временем сохраняет конечный объем, то мы будем говорить, что наша система демонстрирует устойчивое поведение. Точки фазового пространства, близкие друг к другу (настолько, что они соответствуют конкретным физическим состояниям системы, которые существенно похожи друг на друга), остаются близкими, и погрешности в указании их положения со временем не увеличиваются. Любое чрезмерно сильное расплывание начальной области  R₀ в результате приводит к появлению непредсказуемой составляющей в поведении системы.

А что вообще можно сказать о гамильтоновых системах? Стремятся ли области фазового пространства расплываться со временем или все-таки нет? Казалось бы, при такой общей постановке проблемы сказать о ней можно будет немного. Однако для гамильтоновых систем существует весьма красивая теорема, принадлежащая выдающемуся французскому математику Жозефу Лиувиллю (1809–1882), которая утверждает, что объем любой области фазового пространства должен оставаться постоянным при любых изменениях состояния системы, происходящих в соответствии с уравнениями Гамильтона. (Разумеется, размерность «объема» следует понимать в смысле размерности фазового пространства.) Следовательно, объем каждой области R_t должен быть таким же, как объем исходной области R₀. На первый взгляд теорема Лиувилля позволяет утвердительно ответить на вопрос об устойчивости гамильтоновых систем. В силу того, что размер исходной области (в смысле ее объема в фазовом пространстве) не может возрастать, создается впечатление, будто наша исходная область не может со временем расплываться по всему фазовому пространству.

Однако такое впечатление обманчиво, и, немного поразмыслив над этим, мы поймем, что в действительности может произойти прямо противоположная ситуация! На рис. 5.14 я попытался наглядно изобразить такое поведение системы, которое можно было бы ожидать в общем случае.

Рис. 5.14. Несмотря на то, что — согласно теореме Лиувилля — объем фазового пространства сохраняется постоянным, он, как правило, будет расплываться в результате чрезвычайно сложной эволюции системы во времени

Представим себе, что начальная область  R₀ невелика и имеет «приемлемую» форму — достаточно гладкую, лишенную причудливых выступов — которая указывает на то, что при описании состояний, принадлежащих этой области, чрезмерно высокая точность совсем необязательна. Но с течением времени область R_t начинает деформироваться и растягиваться — сначала принимая форму, напоминающую амебу, а затем образуя причудливые отростки, которые простираются далеко в стороны, замысловато извиваясь то в одном, то в другом направлении.