Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Полное измерение представляет собой весьма идеализированный тип измерения. Например, полное измерение положения частицы потребовало бы от нас способности локализовать частицу с бесконечной точностью, где бы во вселенной она ни находилась! К более элементарному типу измерения относится такое измерение, когда мы просто задаем вопрос типа «да или нет», например, такой: «Расположена ли частица справа (или слева) от некоторой прямой?» или «Лежит ли импульс частицы в некотором интервале?» и т. д. Измерения типа «да или нет» в действительности представляют собой наиболее фундаментальный тип измерения. (Например, используя только лишь измерения типа «да или нет», можно сколь угодно близко подойти к точному значению положения или импульса частицы.) Предположим, что результатом измерения типа «да или нет» оказывается ДА. Тогда вектор состояния должен находиться в области « ДА» гильбертова пространства, которую я обозначу Y(от англ. yes— «да». — Прим. ред.). С другой стороны, если результатом измерения типа «да или нет» оказывается НЕТ, то вектор состояния должен находиться в области « НЕТ» гильбертова пространства, которую я обозначу N(от англ. no— «нет». — Прим. ред.). Области Y и N полностью ортогональны друг другу в том смысле, что любой вектор состояния из области Y должен быть ортогонален любому вектору состояния из области N(и наоборот). Кроме того, любой вектор состояния | ψ) может быть (единственным образом) представлен в виде суммы векторов, принадлежащих каждой из областей Y и N. Если воспользоваться математической терминологией, то можно сказать, что области Y и N являются ортогональными дополнениями друг друга. Таким образом, | ψ) однозначно представи́м в виде

| ψ) = | ψ_Y) + | ψ_N)

где | ψ _Y) принадлежит Y, a | ψ_N) принадлежит N. Здесь | ψ _Y) означает ортогональную проекцию состояния | ψ) на Y, a | ψ_N) — ортогональную проекцию состояния | ψ) на N(рис. 6.23).

Рис. 6.23. Редукция вектора-состояния. Измерение может быть описано в терминах пары подпространств Y и N, каждое из которых является ортогональным дополнением другого. После измерения состояние | ψ) скачком переходит в свою проекцию на одно из этих подпространств с вероятностью, задаваемой множителем, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора состояния уменьшается при переходе к проекции

Если результат измерения есть ДА, то | ψ) скачком переходит в | ψ _Y), а если результат есть НЕТ, то в | ψ_N). Если вектор состояния | ψ) нормирован, то соответствующие вероятности того и другого исхода равны квадратам длин

| ψ _Y| ² и | ψ_N| ² состояний-проекций. Если же вектор | ψ) не нормирован, то каждый из этих квадратов необходимо разделить на | ψ| ². (По «теореме Пифагора»

| ψ| ² = | ψ _Y| ² + | ψ_N| ², т. е. сумма вероятностей, как и должно быть, равна единице!) Заметим, что вероятность скачкообразного перехода состояния | ψ) в состояние | ψ _Y) определяется отношением, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора | ψ) уменьшается при таком проецировании.

В заключение необходимо сделать одно замечание относительно таких «актов измерения», которые можно производить над квантовой системой. Из самих основ квантовой теории следует, что для любого состояния, скажем, для | X), существует измерение типа «да или нет» [152], результатом которого будет ДА, если измеряемое состояние пропорционально | X), и НЕТ, если оно ортогонально | X). Таким образом, введенная выше область Y могла бы состоять из всех состояний, кратных любому выбранному состоянию | X). Из этого утверждения, по-видимому, следует весьма сильное заключение о том, что векторы состояния должны быть объективно реальными. Каким бы ни было состояние физической системы (давайте назовем его | X)), существует в принципе выполнимое измерение, для которого | X) — единственное(с точностью до пропорциональности) состояние, с достоверностью приводящее к результату ДА. Может оказаться, что для некоторых состояний | X) выполнить такое измерение будет чрезвычайно трудно, а порою практически «невозможно». Но тот факт, что согласно теории существует принципиальная возможность такого измерения, приведет позднее в этой главе к некоторым поразительным следствиям.

Спин и сфера Римана состояний