Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Предположим, что мы получили ответ ДА, и обозначим результирующее состояние | α). Если мы просто повторим измерение, используя в точности такое же направление α, как прежде, то с вероятностью 100 % обнаружим, что ответ будет ДА. Но если при втором измерении мы изменим направление и выберем новое направление β, то обнаружим, что вероятность ответа ДА(состояние перепрыгивает в | β)) будет несколько меньшей, и существует некоторая возможность появления во втором измерении ответа НЕТ(состояние перепрыгивает в направление, противоположное β). Как нам вычислить эту вероятность? Ответ на этот вопрос содержится в предписаниях, приведенных в конце предыдущего раздела. Вероятность ответа ДА для второго измерения оказывается равной

1/ 2( 1+ cos v)

где v— угол между направлениями [158] α и β. Соответственно, вероятность ответа НЕТ для второго измерения равна

1/ 2( 1— cos v)

Отсюда видно, что если второе измерение производится под прямым углом к первому, то вероятность составляет 50 % в обоих случаях ( cos 90°= 0); результат второго измерения полностью случаен! Если угол между двумя измерениями острый, то ответ ДА более вероятен, чем ответ НЕТ. Если этот угол — тупой, то ответ НЕТ более вероятен, чем ДА. В предельном случае, когда направление β противоположно направлению α, вероятность равна 0 для ответа ДА и 100 % для ответа НЕТ, т. е. результат второго измерения заведомо обратен результату первого измерения. (См. Фейнман и др. [1965] для дальнейшего знакомства со спином.)

Сфера Римана действительно играет фундаментальную (но не всегда признанную) роль в любой квантовой системе с двумя состояниями, описывая (с точностью до коэффициента пропорциональности) набор возможных квантовых состояний. Для частицы с полуцелым спином ее геометрическая роль особенно очевидна, так как точки сферы соответствуют возможным пространственным направлениям спиновых осей.

Увидеть роль сферы Римана во многих других ситуациях труднее. Рассмотрим фотон, только что прошедший через две щели или отразившийся от полупосеребренного зеркала. Состояние фотона есть некоторая линейная комбинация типа

| ψ _t) + | ψ _b), | ψ _t) — | ψ _b) или | ψ _t) + i| ψ _b)

двух состояний | ψ _t) и | ψ _b), описывающих две совершенно различные локализации. Сфера Римана по-прежнему описывает набор физически различных возможностей, но теперь лишь абстрактно. Состояние | ψ _t) представлено северным полюсом («верхушкой») сферы, а состояние | ψ _b) — южным полюсом («дном») сферы. Соответственно, состояния | ψ _t) + | ψ _b), | ψ _t) — | ψ _b) и | ψ _t) + i| ψ _b) представлены различными точками на экваторе, и в общем случае состояние ω| ψ _t) + z| ψ _b) представлено точкой, задаваемой отношением q= z/ ω. Во многих случаях (как и в рассматриваемом примере) возможности «богатства сферы Римана» довольно глубоко упрятаны, не имея прямого отношения к геометрии пространства!

Объективность и измеримость квантовых состояний

Несмотря на то, что мы обычно располагаем только вероятностями для результата некоторого эксперимента, нам кажется, что в квантовомеханическом состоянии есть все же нечто объективное. Часто высказывают утверждение, что векторы состояния — всего лишь удобное представление «нашего знания» о физической системе — или, может быть, вектор состояния описывает на самом деле не одну-единственную систему, а лишь дает вероятностную информацию об «ансамбле» большого числа одинаковым образом приготовленных систем. Такие высказывания поражают меня неразумной робостью относительно того, что квантовая механика должна нам сообщить о «реальности» физического мира.

Некоторая осторожность и сомнение относительно «физической реальности» векторов состояния, по-видимому, проистекает из того, что согласно теории набор измеримых величин строго ограничен. Рассмотрим спиновое состояние электрона, как было описано выше. Предположим, что спиновым состоянием оказывается | α), но мы этого не знаем, т. е. нам неизвестно «направление» α, вокруг которого как вокруг оси вращается электрон. Можем ли мы определить это направление с помощью эксперимента? Нет, не можем. Лучшее, что мы можем сделать, это извлечь «один бит» информации, т. е. получить ответ на один вопрос типа «да или нет». Мы можем выбрать в пространстве некоторое направление β и измерить спин электрона в этом направлении. В результате измерения мы получим ответ либо ДА, либо НЕТ, но после этого информация о первоначальном направлении спина будет утрачена. Получив ответ ДА, мы будем знать, что теперь состояние спина пропорционально | β), а при ответе НЕТ, что теперь состояние спина имеет направление, противоположное β. Но ни в одном из этих случаев ответ ничего не говорит нам о направлении α до измерения, а лишь дает нам некоторую вероятностную информацию о направлении α.