Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Нужно сказать, что в состояниях спин вверх и спин вниз нет ничего особенного. С тем же успехом мы могли бы описывать спин, вращающийся слева направо вокруг любого другого направления, например, слева-направо|→) и противоположного ему справа-налево|←). Тогда (при подходящем выборе комплексных весов) мы получили бы для |↑) и |↓) [155]:

|→)= |↑) + |↓) и |←)= |↑)— |↓).

Это позволяет нам по-новому взглянуть на ситуацию. Любое спиновое состояние электрона есть линейная суперпозиция двух ортогональных состояний |→) и |←),т. е. спинов направо и налево. Можно выбрать какое-нибудь совершенно произвольное направление, например, вектор состояния.

Он также является линейной комбинацией спинов |↑) и |↓) с некоторыми комплексными коэффициентами, скажем,

а любое спиновое состояние было бы представимо в виде линейной комбинации этого состояния

и ортогонального ему [156]состояния

(Заметим, что понятие «ортогональный» в гильбертовом пространстве не обязательно означает «образующий прямой угол с…» в обычном пространстве. Ортогональные вектора состояния в гильбертовом пространстве в данном случае соответствуют диаметрально противоположным направлениям, а не образующим друг с другом прямой угол.)

Каково геометрическое соотношение между направлением в пространстве, определяемым спином

и двумя комплексными числами ω и z? Так как физическое состояние, задаваемое спином

останется неизменным, если мы умножим

на любое ненулевое комплексное число, то значение имеет только отношение числа z к числу ω. Обозначим это отношение через

q= z/ ω.

Тогда q будет обычным комплексным числом за исключением того, что теперь ему разрешено принимать значение q = ∞, чтобы не упускать из рассмотрения ситуацию с ω= 0, т. е. когда спин направлен вертикально вниз. Если q≠ ∞, то мы можем представить q как точку на плоскости Аргана, как мы делали это в главе 3. Представим себе, что эта плоскость Аргана расположена горизонтально в пространстве, причем действительная ось направлена вправо в вышеуказанном смысле (т. е. в направлении спинового состояния |→)). Представим теперь сферу единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат плоскости Аргана, а точки 1, i, — 1, - i лежат на экваторе этой сферы. Рассмотрим точку, совпадающую с южным полюсом этой сферы, который мы обозначим ∞. Осуществляя проекцию из южного полюса, мы отобразим всю плоскость Аргана на нашу единичную сферу. В результате любая точка q на плоскости Аргана окажется поставленной в соответствие единственной точке q на этой сфере, лежащей на прямой, соединяющей эти две точки с южным полюсом (рис. 6.25).

Рис. 6.25. Сфера Римана, представленная как пространство физически различных спиновых состояний частицы со спином 1/ 2. Сфера Римана стереографически спроецирована из ее южного полюса ( ∞) на плоскость Аргана, проходящую через экватор сферы

Такое соответствие называется стереографической проекцией и обладает многими красивыми геометрическими свойствами (например, сохраняет углы и отображает окружности в окружности). Такая проекция позволяет нам параметризовать точки сферы комплексными числами вместе с ∞, т. е. множеством возможных комплексных отношений q. Сфера, параметризованная таким образом, называется сферой Римана. Геометрический смысл сферы Римана для спиновых состояний электрона состоит в том, что направление спина, задаваемое соотношением

определяется реальным направлением из центра в точку q= z/ ω, как показано на изображении сферы Римана. Заметим, что северный полюс соответствует состоянию |↑), задаваемому соотношением z= 0, т. е. q= 0, а южный полюс — состоянию |↓), задаваемому соотношением ω= 0, т. е. q= ∞. Самая правая точка сферы Римана помечена значением q = 1, что соответствует состоянию |→)= |↑) + |↓) а самая левая точка сферы Римана соответствует q= - 1, что дает спиновое состояние |←)= |↑)— |↓). Самая дальняя задняя точка сферы Римана помечена значением q= i, соответствующим состоянию |↑) + i|↓), в котором спин направлен прямо от нас, а самая близкая точка сферы Римана помечена значением q= — i, соответствующим состоянию |↑)— i|↓), в котором спин направлен прямо к нам. Произвольная точка, помеченная q, соответствует состоянию |↑) +  q|↓).

Как все это связано с измерением, которое можно было бы произвести над спином электрона? [157]Выберем некоторое направление в пространстве и обозначим его а. Если мы измеряем спин электрона в этом направлении, то ответ ДА означает, что электрон (теперь) действительно вращается слева направо вокруг направления а, в то время как ответ НЕТ означает, что электрон вращается слева направо вокруг направления, противоположного α.