Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Это приводит к удивительному результату: согласно Мартину Гарднеру, лента Мёбиуса, строго говоря, не является двумерным объектом, так как имеет определенную толщину (ведь не существует листа бумаги с нулевой толщиной). Если мы будем рассматривать ленту Мёбиуса как трехмерный объект, то увидим, что ее поперечное сечение имеет форму прямоугольника. Саму ленту в этом случае следует рассматривать как «скрученную призму». Если бы ее сечение имело форму четырехугольника, то перед тем как склеить два конца ленты, мы могли бы повернуть их друг относительно друга всего на четверть оборота, на пол-оборота (как обычную ленту Мёбиуса) или на любое другое число оборотов. А если бы ее сечение имело форму пятиугольника, а не четырехугольника? Какой объект получился бы в этом случае? Изучением подобных объектов и всех геометрических тел, которые остаются неизменными после различных преобразований, занимается область математики под названием топология, о которой мы поговорим в следующих главах.

Путешествие вокруг Гренландии. Модель Вселенной

Спустя несколько лет после открытия гиперболической геометрии, в 1851 г., немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866), ученик Гаусса, выступил с обязательным докладом в Гёттингенском университете, чтобы получить возможность претендовать на пост приват-доцента. Этот доклад получил невероятную известность. В нем Риман обрисовал новое видение геометрии, уделив основное внимание изучению многообразий с произвольным числом измерений в различных пространствах. Используя интуитивно понятный язык и не приводя доказательств, он ввел понятие дифференцируемого многообразия (обобщение понятия дифференцируемой поверхности). Понятие «многообразие» содержит отсылку к изменяющимся координатам, которые описывают совокупность точек некоторого объекта, а прилагательное «дифференцируемое» означает, что многообразие является гладким и не содержит складок или разрывов. Согласно Риману, классические поверхности являются двумерными многообразиями, кривые — одномерными многообразиями, а точки имеют число измерений, равное нулю. Также существуют трехмерные и многомерные многообразия, которые, однако, не так просто изобразить графически.

Кульминацией первой части доклада стало определение понятия тензора кривизны, которое является обобщением понятия гауссовой кривизны на многообразиях. Кривизна кривой в точке рассчитывается путем построения соприкасающейся окружности и вычисления величины, обратной радиусу этой окружности. Так, кривизна окружности радиуса 2 во всех точках будет равна 0,5, а прямая будет иметь кривизну, равную нулю, так как соприкасающаяся окружность для этой прямой будет иметь бесконечно большой радиус.

Очевидно, что это определение непросто обобщить для всей поверхности, так как для каждой точки поверхности можно построить бесконечное множество соприкасающихся окружностей. Какую из них нужно выбрать? На этот вопрос ответил Риман, разработав так называемый тензор кривизны, причем не только для поверхностей, но и для многообразий с произвольным числом измерений.

На этой иллюстрации показано, что с увеличением кривизны радиус соприкасающейся окружности уменьшается.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

Во второй части доклада Риман рассмотрел модель, которая наилучшим образом объяснила бы физическое пространство — пространство, в котором мы живем. Сколько в нем измерений? Какова его геометрия?

В трактовке Римана любое пространство (будь то плоскость, трехмерное пространство или любое другое) можно изучить с помощью дифференцируемого многообразия. Если ввести на этом многообразии понятие расстояния, или метрику, то мы определим геодезические линии (напомним, что это кратчайшие линии, соединяющие две любые точки поверхности) и геометрию на этом многообразии. Так, плоскость сама по себе не является евклидовой или неевклидовой. Лишь введение евклидовой метрики на плоскости подтверждает правильность пятого постулата Евклида, и, как следствие, плоскость становится евклидовой. Если ввести на этой плоскости другую метрику, то этот постулат, возможно, перестанет выполняться.

Например, для расчета евклидовой метрики, то есть расстояния между двумя точками с известными координатами, нужно построить треугольник: одной стороной этого треугольника будет отрезок, соединяющий данные точки, двумя другими сторонами будут проекции этого отрезка на линии, которые параллельны перпендикулярным осям координат и проходят через данные точки. Таким образом, в полученном треугольнике можно будет вычислить гипотенузу по теореме Пифагора, как показано на следующем рисунке: