Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

За год до публикации «Геометрии» Декарта Ферма писал: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется геометрическое место, прямая или кривая».

Сумма углов треугольника

Некоторое время в механике и других областях физики геометрия занимала второстепенное положение по отношению к так называемым дифференциальным уравнениям[10]. Это положение вещей изменил Гаусс, «принц математиков»: он заложил фундамент геометрии, в которой изучались дифференцируемые функции, иными словами, дифференциальной геометрии. Гаусс изучал кривые и поверхности в пространстве и определил базовое обозначение меры кривизны поверхности. Например, с увеличением радиуса окружности ее кривизна уменьшается. Продолжив эти рассуждения, получим, что кривизна прямой равна нулю, что и следовало ожидать.

Выполнить расчет кривизны поверхности сложнее. Если говорить упрощенно, то для двух точек данной поверхности кратчайшая кривая, соединяющая две эти точки (так называемая геодезическая линия) и не выходящая за пределы данной поверхности, будет являться кривой наименьшей кривизны. Это утверждение является более общим по отношению к постулату, который гласит, что на евклидовой плоскости кратчайшей линией между двумя точками является прямая[11]. В такой трактовке евклидово пространство — это частный случай пространства, имеющего нулевую кривизну.

На основе этих рассуждений Гаусс доказал, что существуют поверхности, на которых сумма углов треугольников, образованных геодезическими линиями, превышает 180° либо, напротив, меньше 180°. Можно доказать, что из пятого постулата Евклида следует, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, поэтому открытие Гаусса противоречит пятому постулату. Судя по дневникам Гаусса, примерно в 1824 г. он пришел к следующему выводу: доказать пятый постулат, исходя из остальных постулатов, нельзя, так как он не зависит от них. Кроме того, можно создать полностью логичную геометрию, где этот постулат невыполним, и при этом не возникнет никаких противоречий с остальными четырьмя. Хотя в те годы Гаусс уже считался ведущим математиком Европы, он решил, что общество не готово к открытию такого масштаба, и не опубликовал свои записи.

Некоторые исследователи утверждают, что именно Гаусс первым рассмотрел вероятность того, что наша Вселенная имеет неевклидову геометрию. Говорят, что он поднялся на три горные вершины с теодолитом, чтобы измерить углы треугольника, образованного этими горами, но точность измерений оказалась недостаточной, чтобы сделать какие-то выводы. Любопытно, что можно экспериментально доказать, что физическое пространство не является евклидовым, но доказать его «евклидовость» не получится. Евклидовы пространства нулевой кривизны — это граничный случай, разделяющий пространства положительной и отрицательной кривизны. В измерение кривизны, как и в любое другое измерение, может вкрасться ошибка: всегда будет существовать вероятность, что отклонение от нуля слишком мало, чтобы его можно было обнаружить. Следовательно, нельзя доказать экспериментально, что данное пространство однозначно является евклидовым.

Вскоре после Гаусса еще один ученый пришел к тому же выводу, и он нашел в себе смелость опубликовать свои изыскания. В его труде пятый постулат Евклида был заменен следующим: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные ей». Речь идет о геометрии Лобачевского. В действительности к этому выводу независимо друг от друга пришли два математика: Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи, сын Фаркаша Бойяи, друга самого Гаусса. Фаркаш Бойяи увидел в работах Лобачевского свои же идеи и настолько заинтересовался геометрией Лобачевского, что в 62 года начал изучать русский язык, чтобы прочесть его труды в оригинале. На это ему понадобилось всего несколько месяцев.

Бойяи и Лобачевский не пытались доказать пятый постулат Евклида исходя из других постулатов. Вместо этого они заметили, что постулат о параллельности прямых должен быть независимым от остальных. До них в отличие от многих своих предшественников этим же путем следовал Иоганн Ламберт. Ученые пришли к выводу, что независимость пятого постулата имеет большое значение: можно заменить его другим постулатом о параллельности прямых, возможно даже противоположным по смыслу, получить новую непротиворечивую систему постулатов и, как следствие, полностью непротиворечивую геометрию. Независимо друг от друга Бойяи и Лобачевский выбрали один и тот же альтернативный постулат и исследовали полученную неевклидову геометрию, приведя для ее теорем доказательства, аналогичные доказательствам Евклида.