Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Фреска «Афинская школа» Рафаэля, на которой изображены практически все греческие мудрецы — известнейший пример использования перспективы. На фреске под крышей грандиозного архитектурного сооружения изображены представители классической философии, собравшиеся вместе. На этом шедевре Рафаэля время словно остановилось для мудрецов из разных эпох. И среди них наш старый знакомый Евклид. Рафаэль изобразил его в правой части картины. Евклид, согнувшись, что-то объясняет ученикам, рисуя дуги циркулем на маленькой доске. На фреске также есть и Пифагор, он сидит в противоположном углу и что-то пишет на табличке. Пифагор и Евклид изображены в разных сторонах нижней части картины — именно там, где начинаются воображаемые линии, сходящиеся к центру композиции, где расположены Платон и Аристотель. Эти линии теряются на горизонте и уходят в бесконечность.

«Афинская школа». Помимо Евклида и Пифагора, на фреске Рафаэля также изображены Зенон Китийский, Эпикур, Анаксимандр, Аверроэс, Александр Великий, Ксенофонт, Гапатия, Парменид, Сократ, Диоген Синопский, Плотин, Архимед, Заратустра, Клавдий Птолемей, Протоген и сам Рафаэль. Художник вывел себя в образе Апеллеса.

Шаг в бесконечность: проективная геометрия

Формальные принципы и основы проективной геометрии создал Жерар Дезарг (1591–1661). Этот французский математик заметил, что круг в перспективе выглядит как эллипс, а тень, которую отбрасывает на стену круглый предмет, может принимать форму круга, эллипса, параболы или ветви гиперболы в зависимости от угла наклона предмета. (Четыре упомянутые кривые — окружность, эллипс, парабола и гипербола — называются коническими сечениями.) Это означает, что проекция предмета (в нашем примере это тень) преобразует одну фигуру в другую[9].

На основе этих наблюдений Дезарг ввел два новых понятия: бесконечно удаленную точку, называемую также несобственной точкой, и бесконечно удаленную прямую, также называемую несобственной прямой. На плоскости существует бесконечно много несобственных точек, каждой из которых соответствует свое направление. Все такие точки образуют бесконечно удаленную прямую. Аналогично в пространстве существует бесконечно много несобственных прямых, которые в совокупности образуют бесконечно удаленную плоскость. Согласно модели Дезарга, две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке — несобственной точке, определяемой углом наклона прямой. Иными словами, каждому углу наклона можно поставить в соответствие бесконечно удаленную точку.

Аналогично пересечением двух параллельных плоскостей будет бесконечно удаленная, то есть несобственная прямая. Следовательно, можно сказать, что две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда имеют общую точку (собственную или несобственную), а две плоскости пространства всегда имеют общую прямую (собственную или несобственную). Парабола будет эллипсом с несобственной точкой, гипербола — эллипсом, но уже с двумя несобственными точками. Отсюда следует принцип двойственности, который выполняется для всех теорем, устанавливающих отношение между точками и прямыми. В соответствии с этим принципом если в теореме проективной геометрии мы заменим слово «точка» на «плоскость», а слова «проходит через» — на «пересекаются в», то полученная теорема также будет верной. Благодаря этому принципу теорема «через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую» имеет парную теорему: «Две несовпадающие прямые пересекаются на единственной плоскости».

Согласно новым принципам, разработанным Дезаргом, конические сечения отличаются друг от друга лишь числом несобственных точек.

Эта теория стала принципиально новой. Было нетрудно представить, что эллипс (замкнутая кривая) в перспективе будет выглядеть как окружность. Например, Дюрер точка за точкой построил все возможные сечения прямого конуса плоскостью. Тем не менее на одном из его рисунков можно увидеть, что фигура, которая в теории должна быть эллипсом, изображена в форме яйца, как будто бы Дюрер не верил своим глазам и ожидал, что по мере приближения к вершине конуса кривая будет более вытянутой по сравнению с обычным эллипсом. Напротив, казалось невозможным, что окружность в перспективе может принимать форму незамкнутой кривой с ветвями, уходящими в бесконечность, то есть форму параболы. Также казалось невозможным, что окружность в перспективе может разрываться подобно гиперболе, которая имеет две отдельные ветви.

Изображаем круглый бассейн на картине