Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА НЕ ТАК СЛОЖНЫ, КАК МОЖЕТ ПОКАЗАТЬСЯ

Вещественные числа обозначают все точки, расположенные на числовой прямой, причем каждому числу соответствует точка и каждой точке соответствует число. Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления вещественных чисел. Так называемые комплексные числа определяются аналогичным образом стой лишь разницей, что им в соответствие ставятся точки, расположенные не на прямой, а на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Существует три способа определения комплексных чисел: в прямоугольной системе координат, в полярных координатах и в алгебраической форме. Комплексные числа обычно обозначаются буквой z. В прямоугольных координатах любому комплексному числу z сопоставлена точка с двумя координатами — вещественной и мнимой. Мнимые координаты откладываются на вертикальной оси, мнимая единица обозначается буквой i. Мнимое число i является квадратным корнем из -1. Именно поэтому комплексные числа долгое время назывались мнимыми. Они не так сложны, как может показаться, и благодаря им удалось упростить многие теории и формулировки. Для обозначения комплексных чисел на плоскости используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладывается значение вещественной части, по вертикальной оси — значение мнимой части. Запишем одно и то же комплексное число через декартовы координаты, в алгебраическом виде и в полярных координатах:

z = (1/2, √3/2) = (1/2) + (√3/2i) = 1_60°

В этой формуле z — комплексное число, вещественная часть которого равна 1/2, мнимая — √3/2. Это равносильно тому, что радиус-вектор соответствующей точки комплексной плоскости имеет длину 1 и образует угол в 60° с горизонтальной осью. Для сложения двух комплексных чисел достаточно сложить по отдельности их вещественные и мнимые части. Например, если z₁ = (-2,4) и z₂ = (3,1), их сумма равна (1, 5). Если представить эти числа графически, то мы увидим, что их сумма — это всего лишь точка на диагонали параллелограмма, образованного радиус-векторами этих чисел. Чтобы выполнить умножение, достаточно следовать простым правилам: i² заменяется на -1, так как i равно квадратному корню из -1:

z₁z₂ = (-2 + 4i)(3 + i) = —2(3 + i) + 4i(3 + i) = (-6 — 2i) + (12i — 4) = -10 + 10i.

Полученной точке соответствует радиус-вектор, угол которого равен сумме углов радиус-векторов данных чисел, а длина (которая называется модулем) равна произведению длин этих радиус-векторов.

Импульсивно-компульсивные вычисления