Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Важнейший вывод всех упомянутых работ был таков: с помощью очень простой формулы можно получить сложные результаты. Как мы увидим чуть позже, этот вывод имел большое значение для всей науки в целом.

В итеративной процедуре результат вычислений, полученный на предыдущем этапе, является входным значением для вычислений на следующем этапе. Суть этого метода в том, что с некоторым числом выполняется определенная операция, она же выполняется над полученным результатом, затем над результатом, полученным на следующем этапе, и так до бесконечности. В формальном виде это можно представить так:

x_n+1 = f(x_n).

Чтоб лучше понять, о чем идет речь, представим, что этой операцией является возведение числа в квадрат. В этом случае запись примет следующий вид:

x_n+1 = x_n²

Примем в качестве начального значения любое число, например x₀ = 2. Тогда на первом шаге получим х₁ = 2² = 4; затем х₂ = 4² = 16, х₃ = 16² = 256 и так далее. Полученная последовательность чисел (в нашем примере это последовательность 2, 4, 16, 256….) называется орбитой, а точка, к которой стремится эта последовательность (в нашем случае это бесконечно удаленная точка), называется аттрактором.

Если рассматривать эту же операцию возведения в квадрат, но выбрать начальное значение, меньшее 1, например x₀ = 0,5, то аттрактором будет 0. Если x₀ = 1, результат на любом шаге всегда будет равен 1. В этом случае говорят, что орбита состоит из одной точки, которая называется фиксированной точкой.

В конце XIX в. математики, физики и биологи проявляли большой интерес к итеративному процессу, в котором значение, полученное на предыдущем шаге, возводилось в квадрат и складывалось с некой константой. На языке математики это называется семейством квадратичных функций вещественной переменной. Интерес научного сообщества был вызван тем, что это семейство функций было связано с рядом различных теорий, которые со временем были объединены в так называемую теорию хаоса.

Точки-пленники, или Как найти выход из лабиринта

Жюлиа и Фату первыми исследовали итерируемые комплексные функции, и полученные ими результаты легли в основу всех последующих работ в области фрактальной геометрии. Помимо прочего, Жюлиа и Фату изучали поведение комплексных чисел при их последовательном возведении в квадрат и сложении результата с константой. В виде формулы это выражается так:

z_n+1 = z_n² + c,

где z — комплексное число, с — комплексная константа. Суть формулы проста: нужно взять число, умножить его на само себя, сложить с константой с и повторять эти действия над каждым полученным результатом снова и снова. В полученной последовательности комплексных чисел каждое число зависит только от выбора начальной точки и константы с.

В 1906 г. Фату доказал, что если применить эту операцию ко всем точкам комплексной плоскости, то большинство полученных орбит будут заканчиваться на бесконечности, за исключением четко определенного множества точек, внутренняя часть которого сегодня известна как множество Фату. Эти точки можно назвать «пленниками», а остальные точки — «изгнанниками». Точки на границе между ними, «охранники», образуют множество Жюлиа.

Рассмотрим подробнее эту операцию при с = (0, 0). Квадрат комплексного числа — это точка комплексной плоскости, модуль радиус-вектора которой равен квадрату модуля радиус-вектора исходной точки, а угол с горизонтальной осью в два раза больше исходного.

В следующей таблице приведены значения z, z², z⁴, z⁸, z¹⁶, z³² для трех разных комплексных чисел: внутри единичной окружности (иными словами, модуль этого числа меньше единицы), на единичной окружности и, наконец, вне единичной окружности. На рисунке приведено геометрическое представление всех трех случаев.

В таблице вверху приведены расчеты для трех типов орбит.

Орбита, описанная в левой части таблицы, стремится к началу координат; та, что в центре таблицы, описывает единичную окружность; та, что справа, уходит в бесконечность.

На рисунках представлено графическое изображение этих трех орбит на комплексной плоскости.