Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Это очень точный и удобный способ выяснить, является ли множество Жюлиа связным. Но когда можно считать, что орбита точки (0, 0) уходит в бесконечность? Это нам уже известно: орбита уходит в бесконечность, если в какой-то момент она выходит за пределы окружности радиуса 2 и радиуса, равного |с|.

Мандельброт использовал это свойство, чтобы определить значения константы с, для которой множества Жюлиа являются связными. Когда он изобразил полученный набор значений с на комплексной плоскости, то увидел удивительную фигуру.

Грубо говоря, множество Мандельброта можно считать кардиоидой (кривой в форме сердца), которой касается бесконечное множество окружностей, среди которых выделяется одна наибольшего размера, расположенная слева от кардиоиды. При увеличении этой окружности становится видно, как она соединяется нитями с другими «аналогичными» структурами. Хотя кажется, что повсюду разбросаны отдельные точки, никак не соединенные друг с другом, в действительности множество Мандельброта является связным.

Множество внутренних точек этого множества имеет размерность 2. Несмотря на то что топологическая размерность границы множества Мандельброта равна единице, в 1991 г. японский математик Мицухиро Шишикура доказал, к удивлению многих, что ее размерность Хаусдорфа равна двум[23].

Если внимательно изучить последовательность кругов все меньшего диаметра, которые расположены вдоль горизонтальной оси, можно заметить следующее правило: отношение диаметров соседних кругов стремится к константе, примерно равной 4,6692… Это значение, которое называется постоянной Фейгенбаума, фигурирует в описании множества природных явлений. Причины этого до сих пор неясны.

Изображения множества Мандельброта будут более красивыми, а его границы — более отчетливыми, если использовать алгоритм времени убегания и палитру из нескольких разных цветов. Будем выделять разными цветами точки с различной скоростью убегания. Например, будем обозначать точку зеленым цветом, если ее орбита выходит за пределы окружности радиуса 2 за 11–20 итераций, желтым — если требуется 21–30 итераций (смотрите цветную вкладку в конце книги).

Множество Мандельброта во всем своем великолепии.

Область, расположенная между большой окружностью и кардиоидой, получила название «долина морского конька». В ней обитает множество фигур, которые соединены тысячами разных способов и по форме напоминают морского конька. По всей плоскости располагаются уменьшенные копии целого множества, связанные между собой нитями разной формы. Множество Мандельброта, по-видимому, является фракталом в том смысле, в котором мы ранее использовали это понятие, то есть обладает свойством самоподобия в различном масштабе наблюдений. Однако в действительности это не совсем так. При каждом увеличении мы видим все больше нитей, поэтому всегда можем определить степень увеличения изображения. Существуют серьезные сомнения относительно самоподобия множества Мандельброта. Если нам показать два изображения множества Жюлиа, мы не сможем определить их масштаб, в то время как сделать это для множества Мандельброта несложно. Поэтому множество Мандельброта считается почти самоподобным.

На рубеже XX–XXI вв. китайский математик Тан Лэй выполнил ряд системных исследований множества Мандельброта и его динамики. Некоторые результаты представлены в его книге «Множество Мандельброта: Тема с вариациями» (2000). Изображение множества Мандельброта, приведенное на предыдущей странице, поможет понять всю важность фракталов за пределами математического мира.

Тема с вариациями

Как связано положение точки с в множестве Мандельброта и множество Жюлиа, при генерации которого использовалось это значение с? Это достоверно неизвестно. Можно заметить, что множество Мандельброта содержит всю информацию о форме всех множеств Жюлиа, уменьшенных и видоизмененных. Следовательно, оно является не просто средством классификации связных и несвязных множеств Жюлиа. Например, для всех значений с внутри кардиоиды множество Жюлиа будет напоминать деформированную окружность. Если точка, которой соответствует значение с, располагается внутри одной из касательных окружностей, множество Жюлиа будет разделено на доли. Если же эта точка располагается на одной из многочисленных нитей, то соответствующее множество Жюлиа будет разделено на несколько ветвей. В случае когда эта точка расположена на границе множества, соответствующее множество Жюлиа будет разделено на бесконечное число отдельных частей.

Изучив свойства множества Мандельброта более подробно, мы увидим, что внутри определенной касательной окружности число долей соответствующего множества Жюлиа всегда будет неизменным. Присвоив каждой доле соответствующее число и проанализировав полученные изображения, можно составить карту множества Мандельброта.