Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Множество Мандельброта и различные множества Жюлиа, рядом с которыми приведены соответствующие значения с, использованные при построении.

Создать целую вселенную, полную замысловатых узоров, цветов, улиток и драконов, можно не только с помощью последовательности квадратичных функций. Существует множество других итераций над комплексными числами, позволяющих создать особый фрактальный мир. Те примеры, с которыми вы успели ознакомиться, очень хорошо показывают, что сложная структура не обязательно строится по сложным правилам. Примеры этому можно найти и в природе. Достаточно вспомнить, что человечество во всем своем многообразии лиц имеет в своей основе один генетический код. Может случиться так, что все это окажется не просто совпадением. Когда-нибудь это поможет открыть универсальный закон Вселенной, о котором мы говорили в первой главе этой книги.

Звук хаоса[24]

Во второй половине XX в. музыка и математика, искусство и наука снова начали сближаться благодаря использованию компьютерных программ для цифровой обработки данных. В конце 1910-х гг. Иосиф Шиллингер, советский музыковед, эмигрировавший в США, разработал систему музыкальной композиции, основанную на периодических колебаниях. Он увязал их с ритмом, тоном, гаммами, аккордами и аккордовыми последовательностями. Система изложена в семи книгах, в каждой из которых уделено внимание отдельному аспекту музыкальной композиции. Некоторые ученые считают, что Шиллингер описал создание музыки на компьютере задолго до появления первых компьютеров. По мнению некоторых экспертов, теория Шиллингера до сих пор не получила заслуженного признания, хотя очень серьезно повлияла на Джорджа Гершвина, Глена Миллера (оба были учениками Шиллингера) и Бенни Гудмена.

Модели, основанные на уравнениях и случайных последовательностях, чаще всего использовались при написании музыкальных композиций, но с 1970-х гг. стало возможным создавать алгоритмы на основе фракталов. По мнению многих, фрактальную музыку нельзя назвать подлинным искусством, так как искусство эмоционально, интуитивно и выразительно, в то время как наука рациональна, описательна и доказуема. Однако в большинстве подобных композиций фрактальная музыка служит лишь отправной точкой. Композитор создает фрактальную мелодию, которая сама по себе звучит странно и беспорядочно, затем изменяет ее, пока не получит приятную для слуха композицию. Этот процесс выполняется медленно, а результатом, по мнению многих авторов, будет чисто «компьютерная» музыка. Однако сам по себе компьютер никогда не смог бы создать похожее произведение.

Существует множество программ для создания фрактальной музыки (MusiNum, LMUSe, Gingerbread, The Well Tempered Fractal), которые позволяют автоматически генерировать приятные мелодии. Фил Томпсон, британский программист и музыкант-любитель, начал заниматься фрактальной музыкой как хобби и в 1998 г. выпустил первый альбом Organized Chaos. Его композиции, которые он сам считает открытиями, основаны на множестве Мандельброта. Томпсон создал программу Gingerbread, которая работает следующим образом. Выбирается начальная точка z, затем к ее орбите, получаемой с помощью квадратичной функции, применяются определенные преобразования, в результате чего координаты точек превращаются в ноты. Когда орбита выходит за границы окружности радиуса 2, мелодия начинается снова. Программа предлагает невероятное множество вариантов. Таким образом, с ее помощью можно создать огромное число разнообразных композиций. Без знаний математики и музыки можно создавать классические композиции и поп-музыку, начиная от саундтреков к фильмам и заканчивая фоновой музыкой для сайтов. Создатель программы гарантирует, что количество исходных данных бесконечно велико. Он определяет фрактальную музыку как особую форму композиции, при которой пользователь не «изобретает», а «открывает» музыку.

В поисках определения

Существует ли точное определение фрактала? Мандельброт в книге «Фрактальные объекты» утверждает, что существует только эмпирическое определение и что ни одно теоретическое определение не является полностью удовлетворительным. Иногда говорят, что фракталы — это объекты с дробной размерностью, но это утверждение вдвойне ошибочно, так как размерность фракталов может быть иррациональным (как, например, для треугольника Серпинского) или целым числом (для кривых, покрывающих плоскость, или для границы множества Мандельброта).