Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

«К примеру, когда мы жили на Земле, то двигали руками, и каждое движение сообщало вибрацию окружающей атмосфере. Эта вибрация беспредельно распространялась, пока не сообщала импульс каждой частице земного воздуха, в котором с той поры и навсегда нечто было определено единым движением руки. Этот факт был хорошо известен математикам нашей планеты. Они достигали особых эффектов при сообщении жидкости особых импульсов, что поддавалось точному исчислению — так что стало легко определить, за какой именно период импульс данной величины опояшет земной шар и окажет воздействие (вечное) на каждый атом окружающей атмосферы».

Суть открытия Лоренца, которое позднее получило название «эффект бабочки», такова: существует вероятность, что малейшее изменение начальных условий системы, подобное движению воздуха, вызванному взмахом крыла бабочки, по отношению к климату Земли может повлечь за собой цепочку последствий, которые окажут существенное влияние на всю систему[27].

Хотя выражение «бабочка, которая машет крыльями» дошло до наших дней, о местонахождении бабочки и последствиях взмаха ее крыльев ведется обширная дискуссия, которую мы не будем воспроизводить в этой книге.

Притяжение хаоса

Если динамическая система будет функционировать достаточно долго, в ее фазовом пространстве появится множество точек, которое называется аттрактором. Аттрактором может быть точка, кривая, поверхность или какое-то сложное множество неправильной структуры, которое называют странным аттрактором.

Фрактальный характер хаоса проявляется в странных аттракторах. Если изобразить орбиты странного аттрактора и последовательно увеличивать их, то можно заметить самоподобие, характерное для фракталов.

Иногда динамические системы зависят от определенного параметра, благодаря чему их проще использовать при моделировании реальных систем. Значение этого параметра особенно важно, чтобы понять, как рождается хаос. При определенных значениях параметра динамическая система демонстрирует нормальное поведение, но иногда даже после малейших изменений появляется хаос. Особенно важную роль играет изучение этих систем и параметра, определяющего их поведение, с целью выявить точки перехода, в которых система начинает проявлять хаотические свойства.

Существование подобных динамических систем, в которых сосуществуют порядок и хаос, заставляет нас признать, что они тесно взаимосвязаны: в любой упорядоченной системе всегда явно или неявно присутствует хаос, а в любой хаотической системе явно или неявно присутствует порядок. Если система демонстрирует все более хаотическое поведение или, напротив, становится стабильной и упорядоченной, она потенциально может снова изменить свое поведение.

Примером того, как хаотическая система неявно является упорядоченной, может служить солитон Джона Рассела. Если мы бросим камень в пруд, на поверхности воды возникнут небольшие волны, которые вскоре исчезнут. Однако в 1834 г. шотландский ученый Джон Скотт Рассел (1808–1882) заметил крайне странное явление: в некоторых ситуациях волны порождали новую волну со своими характеристиками, и эта новая уединенная волна, так называемый солитон, могла проходить сотни километров, не теряя формы. Рассел несколько километров следовал за подобной волной вдоль канала и констатировал, что она шла против течения, не ослабевая. Солитон Рассела — это физическое явление, при котором сочетание дисперсии и нелинейности порождает упорядоченность.

На практике солитон Рассела используется для повышения качества передачи данных в оптоволоконных сетях. Так, в 1988 г. удалось передать солитон на расстояние свыше 4 ООО км.

Переход от ламинарного к турбулентному течению потока — один из наиболее наглядных примеров того, каким путем может рождаться хаос. В эксперименте Тэйлора-Куэтта поток проходит между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разной скоростью. С ростом скорости вращения внутреннего цилиндра поток перестает быть равномерным и разбивается на множество водоворотов. Еще более заметные изменения происходят, когда внешний и внутренний цилиндры вращаются в противоположных направлениях. В этом случае в потоке появляются спирали и завихрения. С изменением скорости вращения обоих цилиндров открывается своеобразный ящик Пандоры: в потоке появляются волнистые и турбулентные спирали. Результаты будут отличаться в зависимости от того, скорость какого цилиндра будет увеличена первой.