О принципе противоречия у Аристотеля. Критическое исследование

b) Конструктивные предметы, к которым среди прочих принадлежат числа и геометрические фигуры, несомненно являются предметами в первом значении этого слова, т. е. они являются чем-то, а не ничем; об этом свидетельствует хотя бы та большая роль, какую они играют как в науке, так и на практике. Эти предметы реально не существуют и от опыта не зависят; о них можно сказать, используя выражение Дедекинда, что они являются свободными образованиями человеческого разума (freie Schöpfungen des menschlichen Geistes)[203]. Поэтому может оказаться, что если у нас есть какая-либо свобода в их конструировании, то только от нас зависит, будут ли эти предметы противоречивыми или нет; а поскольку мы верим в принцип противоречия, то конструируем их таким образом, чтобы они были непротиворечивыми. Таким образом, по крайней мере, о конструктивных предметах мы можем вполне определенно сказать, что ни один из них не может одним и тем же свойством обладать и не обладать.

Но все же и в области этих предметов встречаются противоречия. Достаточно вспомнить о «самом большом простом числе» или о «квадрате, сконструированном при помощи линейки и циркуля и равного по площади кругу с радиусом 1». Однако на это можно возразить, что эти противоречивые предметы, которые очевидно не являются предметами, затерялись среди других конструкций случайно, единственно вследствие того, что наш несовершенный разум не может сразу охватить всю неисчислимую совокупность свойств и отношений и не везде может увидеть противоречие. Но как только оказалось, что упоминаемые предметы являются противоречивыми, мы их тут же устранили из науки и сегодня уже знаем, что квадратура круга невозможна, а наибольшее простое число не существует.

И все же остается сомнение: если мы не везде сразу можем увидеть противоречие, то откуда же нам известно, что конструкции, считающиеся непротиворечивыми, противоречия не содержат? Возможно, мы их еще не открыли. Это сомнение можно выразить в виде принципиального обвинения: где гарантия того, что вообще существуют непротиворечивые конструктивные предметы? Конструкции только на первый взгляд кажутся свободными образованиями разума. Правда, можно принять, что дефиниция каждого конструктивного предмета является произвольной; но мы создаем множество таких предметов и за каждым из них признаем много разнородных свойств. А вместе с произвольными конструкциями возникают и какие-то отношения между ними, которые от нашей воли уже не зависят. Действительно, исследуя эти «свободные образования» разума, каждый математик и логик чувствует, что он постоянно встречается с сопротивлением материала; и это сопротивление доказывает, что свойства чисел, фигур, функций и т. д., зависят не только от нас. А если так, можно ли допустить, что как только мы создаем хотя бы две конструкции, то сразу же возникают и какие-то противоречивые отношения между ними? Не могло ли это противоречие быть каким-то существенными и неустранимым признаком всех конструктивных предметов? И где доказательство того, что дело обстоит иначе?

И здесь можно было бы выдвинуть обвинение: если бы в каждой конструкции содержалось какое-то противоречие, то мы чаще, чем до сих пор, встречались бы с противоречивыми предметами. В то же время, предыдущие примеры нужно считать всего лишь исключениями – это мусор из кузницы науки, который как шлак плавает на поверхности чистого расплавленного металла. А вот о том, что дело обстоит далеко не так и что чистота самого металла весьма сомнительна – об этом свидетельствуют последние исследования, касающиеся оснований математики.

Сегодня основой математических наук ученые считают т. н. натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … in inf. Благодаря арифметическим действиям из этих чисел возникают новые числа: положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и действительные и т. д.; и все эти числа являются лишь определенными отношениями предыдущих. Связями этих чисел занимаются отдельные ветви математики, такие как математический анализ, теория функций, теория чисел и т. д. Даже в геометрии до определенной степени можно использовать числовые законы, устанавливающие связи взаимно-однозначного подчинения, т. е. соответствия между элементами пространства и числами. Подобным образом ученые пытаются свести почти всю математику к арифметическим законам и говорят об «арифметизации» математики.

Так вот, в этих фундаментальных математических предметах, какими являются числа натурального ряда, скрываются на первый взгляд удивительные противоречия. Этих чисел так много, что хочется спросить, сколько их? Ответ: их столько, сколько, например, четных чисел. Между натуральным рядом чисел и рядом четных чисел можно установить соответствие, т. е. такое отношение, когда каждому числу первого ряда будет соответствовать только одно число второго ряда, и наоборот:

1, 2, 3, 4, 5, 6, … in inf.

2, 4, 6, 8, 10, 12, … in inf.