О принципе противоречия у Аристотеля. Критическое исследование

Здесь основой соответствия является отношение «число в два раза большее», соответственно, «наполовину меньшее». Во втором ряду, очевидно, должно содержаться столько чисел, сколько их в первом ряду. Но с другой стороны, мы видим, что числа второго ряда являются всего лишь частью чисел первого ряда. И поэтому в заключении получим, что часть равна целому.

Это противоречие заметил уже Лейбниц, обсуждал его и Больцано[204]. Решение последнего, по моему мнению, заключается в следующем.

Нельзя ex definitione утверждать, что часть меньше целого, но следует принять такое определение части: совокупность элементов А является частью совокупности элементов В, если каждый элемент совокупности А является элементом совокупности В, и наоборот, не каждый элемент совокупности В является элементом совокупности А. Пример – католики и христиане. Нельзя в дальнейшем ex definitione утверждать, что меньшее является частью, но нужно принять следующее определение меньшего: совокупность элементов А меньше совокупности элементов В, если существует отношение, которое однозначно подчиняет каждый элемент совокупности А элементам совокупности В, и наоборот, не существует отношения, которое бы однозначно подчиняло каждый элемент совокупности В элементам совокупности А. Пример – кальвинисты и католики. Из определенных таким способом понятий части и меньшего не следует, что часть должна быть меньше целого и, следовательно, упоминавшееся противоречие перестает существовать. Но какой ценой! Ценой предположения, что часть может быть равна целому. И в конечном счете, откуда мы знаем, что окончательно устранили противоречие и что оно вновь не появится в еще неизвестных нам следствиях этих определений?

О том, что такое сомнение не лишено оснований, свидетельствуют судьбы теории бесконечных чисел. Георг Кантор смог создать эту теорию единственно благодаря тому, что обошел упомянутое противоречие. Ведь бесконечное число является таким числом, которое обладает частью равной целому. Количество чисел в натуральном ряду, которое равно количеству не только четных чисел, но и соответствующих дробей и даже всех алгебраических чисел, является наименьшим бесконечным числом. Кантор обозначает его еврейской литерой «алеф нуль». Большим, чем оно, является количество элементов в континууме, например, число точек на отрезке прямой. Это количество Кантор обозначает через «алеф один» и утверждает, хотя точного доказательства до сих пор нет, что это число следует сразу за «алеф нуль»[205]. После «алеф один» следует «алеф два» и т. д. и, таким образом, возникает ряд бесконечных чисел подобно тому, как существует ряд конечных чисел. И вот в этом ряду математики нашли новые противоречия, или «антиномии», которые до сих пор не умеют разрешить[206]. Поэтому может показаться, что Кантор лишь передвигает противоречие из одного угла в другой; но из оснований математики его никогда полностью не удастся выдворить.

Однако этот вопрос я оставляю, поскольку представить его элементарно невозможно. Зато не могу пропустить другое противоречие, которое открыл Бертран Рассел; оно находится в логических основаниях математики, а значит, касается общего корня, из которого вырастают все конструктивные или априорные науки. Это противоречие является одним из наиболее интересных и наиболее древних логических открытий, которые когда-либо делались[207].

Понятие числа находится в тесной связи с понятием класса. Я вновь вынужден опустить вопрос о том, какова эта связь, и займусь только понятием класса. Классом мы называем совокупность элементов или индивидов, имеющих какие-то общие свойства и вследствие этого подпадающие под одно понятие. Если мы назовем, например, «человеком» живое разумное существо с таким-то и таким строением тела, которое подробно описывает зоология, то совокупность индивидов, обладающих такими свойствами и вследствие этого подпадающих под понятие человека – образует класс людей. О предметах, принадлежащих к данному классу, мы говорим, что они подчинены (podporządkowane) этому классу.