Объективное знание. Эволюционный подход

Я попытался скомбинировать некоторые из наиболее очевидных результатов работы Тарского об истине с результатами его работы по исчислению систем. Мы сразу же получаем следующие в высшей степени тривиальные теоремы, в которых предполагается, что упоминаемые в них языки не универсалистские (universalistic).

Теорема.Множество T истинных высказываний любого языка есть дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского. Эта система полна [309].

Как дедуктивная система,  Tпредставляет собой класс (всех собственных) следствий (consequence class); это значит, что он совпадает с классом C n(T)своих собственных логических следствий (T=Cn(T)).Эта система полна в том смысле, что если к  Tприбавить любое высказывание, не принадлежащее T, получившийся класс будет противоречивым.

Теорема.Множество истинных высказываний любого достаточно богатого языка есть неаксиоматизируемая дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского.

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Теперь я введу новое понятие — понятие истинностного содержаниявысказывания a.

Определение.Множество всех истинных высказываний, следующих из любого данного высказывания a, называется истинностным содержанием a.Это — дедуктивная система.

Теорема.Истинностное содержание любого истинного высказывания A есть аксиоматизируемая система A _T= А;истинностное содержание любого ложного высказывания a есть дедуктивная система A _TА,где  A _Tнеаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний)  aсоответствует (финитно) аксиоматизируемаясистема A ,такая что

А=Cn(А)=Cn({а})

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе A соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) a.Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы  Aсистему  A _T— истинностное содержание A.Она совпадает с A, если и только если  Aсостоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема A:очевидно,  A _Tесть произведение, или пересечение, множеств Аи T.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию А _Твысказывания aили дедуктивной системы  Aтакже нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием А _Fвысказывания аили дедуктивной системы A?Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы  Aкак класс всех ложных высказываний, принадлежащих A, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание»как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система  Aсодержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий исключительно из ложных высказываний, принадлежащих A,не может быть содержанием.