Объективное знание. Эволюционный подход

Сам Тарский кратко обсуждает два способа [315]связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или „довольно серьезным"] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen)при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kunstlichkeit),поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины» [316]. В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6)Определения 22 Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений — или свойств, — имеющих порядок, равный числу свободныхпеременных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение [317].

Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых понятие номера места n(place number n )(или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длиныконечной последовательности f, то есть число мест в f(символически Np(f))равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечны последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место — скажем, n-е, -и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или n -мчленом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности так же как и в разных последовательностях [318].

Как и Тарский, я использую символы " f ₁", " f ₂", ... , " f _i", " f _k"» ... " f _n" в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, i-е, k-e, ... n-е места в последовательности f. Я пользуюсь обозначениями Тарского за тем исключением, что [по типографским соображениям] использув "P _ky"для обозначения обобщения [или квантификации по общности выражения y по переменной v _k [319].Принимается, что к Определению (11) [320]Тарского добавлено Определение выражения «v _kвходит в пропозициональную функцию x» — это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.

Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22a и Определением 22b, которое соответствует собственному определению Тарского.

Определение 22а. Конечная последовательность объектов f адекватнапропозициональной функции x(или достаточно длинна относительно x),если и только если

для каждого натурального числа n,

если v _nвходит в x, то число мест в fпо крайней мере равно n (то есть Np(f) n).