Объективное знание

Я попытался скомбинировать некоторые из наиболее очевидных результатов работы Тарского об истине с результатами его работы по исчислению систем. Мы сразу же получаем следующие в высшей степени тривиальные теоремы, в которых предполагается, что упоминаемые в них языки не универсалистские (universalistic).

Теорема. Множество T истинных высказываний любого языка есть дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского. Эта система полна [309].

Как дедуктивная система, T представляет собой класс (всех собственных) следствий (consequence class); это значит, что он совпадает с классом Cn(T) своих собственных логических следствий (T=Cn(T)).Эта система полна в том смысле, что если к T прибавить любое высказывание, не принадлежащее T, получившийся класс будет противоречивым.

Теорема. Множество истинных высказываний любого достаточно богатого языка есть неаксиоматизируемая дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского.

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Теперь я введу новое понятие — понятие истинностного содержания высказывания a.

Определение. Множество всех истинных высказываний, следующих из любого данного высказывания a, называется истинностным содержанием a.Это — дедуктивная система.

Теорема. Истинностное содержание любого истинного высказывания A есть аксиоматизируемая система A_T= А; истинностное содержание любого ложного высказывания a есть дедуктивная система A_T⊂А, где A_T неаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) a соответствует (финитно) аксиоматизируемая система A,такая что

А=Cn(А)=Cn({а})

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе A соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) a. Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы A систему A_T — истинностное содержание A. Она совпадает с A, если и только если A состоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема A: очевидно, A_T есть произведение, или пересечение, множеств А и T.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию А_Т высказывания a или дедуктивной системы A также нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием А_F высказывания а или дедуктивной системы A? Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы A как класс всех ложных высказываний, принадлежащих A, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание» как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система A содержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий исключительно из ложных высказываний, принадлежащих A, не может быть содержанием.