Observationes Domini Petri de Fermat

^{BACHETUS: Dato latere invenire polygonum… Dato polygono invenire latus.}

Propositionem pulcherrimam et mirabilem quam nos invenimus hoc in loco sine demonstratione apponemus. In progressione naturali, quæ ab unitate sumit exordiun, quilibet numerus in proximè maiorem facit duplum sui trianguli, in triangulum proximè maioris facit triplum suæ pyramindis in pyramidem proximè maioris facit quadruplum sui triangulotrianguli, et sic uniformi et genrerali in infinitum methodo. Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari theorema cuius demonstrationem margini inserere nec vacat, nec licet.

Перевод:

Je mettrai ici, sans démonstration, une proposition très belle et très remarquable que j’ai découverte:

Dans la progression naturelle commençant à l’unité, le produit d’un nombre quelconque par le nombre immédiatement supérieur fait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la pyramide du premier nombre; si c’est la pyramide du nombre immédiatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle uniforme et générale.

J’estime qu’on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui soit plus beau ou plus général. Je n’ai ni le temps ni la place d’en mettre la démonstration sur cette marge.

OBSERVATIO D. P. F XLVII (p. 40_2)

Ad propositionem XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libri II.

^{Unitas primum cubum; duo sequentes impares conjuncti, secundlum cubum; tres sequentes, tertium cubum; quatuor succedentes, quartum; semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt.}

Hanc propositionem ita constituo magis universalem. Unitas primam columnam[66] in quacumque polygonorum progressione constituit; duo sequentes numeri mulctati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, secundam columnam; tres sequentes multati secundo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, tertiam columnam, et sic eodem in infinitum progressu.

Перевод:

Voici comment j’énoncerai cette proposition d’une façon plus générale:

Dans toute progression constitutive de polygone, l’unité constitue la première colonne; la somme des deux nombres suivants, diminuée du premier triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres suivants, diminuée du second triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi de suite indéfiniment, suivant la même loi.

OBSERVATIO D. P. F XLVIII (p. 41_2)

Ad propositionem XXXI Bacheti Appendicis Libri II.

^{In hac progressione [nempe arithmetica, in qua minimus terminus æquatur differentia], productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminoram æquatur aggregato cuborum a singulis.}

Hinc sequitur cubum maximi toties sumptum quot sunt numeri terminorum ad aggregatum cuborum habere minorem rationern quam quadruplam.

Перевод:

Il suit de là que le produit du cube du plus grand nombre par le nombre des termes est plus petit que le quadruple de la somme des cubes.

VIRO CLARISSIMO D. DE PELLISSON. S. Fermat S. P. D

Criticas observationes quas mihi nuper misisti, vir clarissime, sæpius legi non sine voluptate et admiratione; in illis enim ingenij, judicij, et doctrinæ dotes quas in te iampridem suspicimus vbique elucent, nihil autem inuenire possim quod tanti muneris vice tibi referam, nisi commodùm egestati meæ succurrerent variæ lectiones quas vir tibi singulari coniunctus amicitiâ, cuius mihi iucunda semper est recordatio, margini apposuit quorumdam librorum quos sedulò peruoluebat, et quorum pleraque loca, sed ὁδοῦ πάρεργον, emendauit; scis enim quàm præcoci ille ubertate florum amænitatem fructuum maturitati iunxerit, nec me latet quantâ ipse fiduciâ suas exercitationes solitus sit in tuum sinum effundere; licet autem omnes istæ quas excerpsi emendationes, tibi nouitatis gratiâ non commendentur, illas tamen, quæ tua est comitas, te benignâ manu suscepturum non dubito.