Observationes Domini Petri de Fermat

An autem alius in integris quadratus præter ipsum 25. inveniatur qui adsumpto binario cubum faciat. id sanè difficilis primo obtutu videtur disquisitionis. Certissimâ tamen demonstratione probare possum nullum alium quadratum præter 25. in integris adiecto binario facere cubum. In fractis ex methodo Bacheti[54] supetunt infiniti, sed doctrinam de numeris integris quæ sanè pulcherrima et subtilissima est, nec Bachetus, nee alius quivis cuius scripta ad me pervenerint, hactenus calluit.

Перевод:

Можно ли отыскать среди целых чисел другой квадрат, кроме 25, который при прибавлении двух становился бы кубом? Конечно, с первого взгляда это кажется трудно исследовать. Однако мы можем доказать совершенно строго, что никакой целый квадрат, кроме 25, при прибавлении двух не дает куба. Для дробных чисел методом Баше можно найти бесконечно много таких квадратов, но наука о целых числах, которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих пор известна ни Баше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня.[55]

OBSERVATIO D. P. F XLIII (p. 329)

Ad commentarium in quæstionem XXIV Libri VI.

^{QUÆSTIO DIOPHANTI. — Invenire triangulum roctangulum ut numerus circumferentiae sit cubus, et adscito areæ numero, faciat quadratum.}

^{BACHETUS… Quoniam vero in his libris Diophantus diversimode utitur duplicata æqualitale, non abs re me facturumn arbitror, si omnes quos usurpat modos sigillatim recenseamn et unum in locum quæ sparsim a nobis adnotata sunt, collecta conjiciam, ut sic tota duplicatæ æqualitatis doctrina discentium animis firmius inhæreat. Nec solas Diophanti hypotheses afferemus, sed et alias plerumque exhibebimus, quibus varia hujusmodi æquationum symptomata declarentur, novamque insuper quam excogitavimus æquationis rationem, quamque ad quadragesimam quintam quarti explicavimus, alijs adjiciemus.}

Ubi non suficiunt duplicatæ æqualitates vel διπλοισότητες, recurrendum ad τριπλοισότητας, seu triplicatas, æqualitates quæ est nostra inventio ad plurima problemata pulcherrima præviam facem præferens. Æquentur videlicet quadrato

1N + 4

2N + 4

5N + 4

oritur triplicata æqualitas cuius solutio per medium duplicatæ æqualitatis est in promptu. Si ponatur loco 1N. numerus una cum 4 quadratum conficiens v. g. [verbi gratia] 1Q + 4. N. fiet primus numerorum æquandorum quadrato 1Q + 4N. + 4 secundus igitur erit 2Q + 8N + 4. tertius 5Q + 20N + 4. primus autem ex constructione est quadratus, ergo debent æquari quadrato 2Q + 8N + 4 et 5Q + 20N + 4 et oritur duplicata æqualitas quæ unicam certè exhibebit solutionem[56], sed eâ exhibitâ prodibit rursum nova, et à secundci tertia deducetur, et in infinitum. Quod opus ita procedet ut invento valore 1N. rursus ponatulr 1N. esse 1N + numero qui primum ipsi 1N. inventus est æqualis. Hac enim viâ infinitæ prioribus solutionibus solutiones accedent et postrema semper derivabitur à proxime antecedenti. Huius inventionis beneficio infinita triangula eiusdem areæ possumus exhibere[57], quod ipsum videtur latuisse Diophantum, ut patet ex quæstione octava lib. 5. in quâ tria tantum triangula æqualis areæ investigat ut sequentem quæstionem in tribus numeris construat quæ ad infinitos ex iis quæ nos primi deteximus, recipit extensionem.

Перевод:

Там, где двойные равенства, или διπλοισότητες, недостаточны, следует прибегать к тройным равенствам, или τριπλοισότητας, которые открыты нами и которые ведут к решению множества прекрасных задач.

Пусть, например, надо приравнять квадратам 1X + 4, 2X + 4, 5X + 4, получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью двойного равенства.

Если положить вместо X некоторое число, которое вместе с 4 дает квадрат, например X² + 4X, то первое число, которое нужно приравнять квадрату, есть X² + 4X + 4, второе 2X² + 8X + 4, третье 5X² + 20X + 4.

Первое число является квадратом по построению, значит, нужно приравнять квадратам

2X² + 8X + 4 и 5Q + 20X + 4,

и получаем двойное равенство, из которого найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести новое решение, а из второго выведем третье и так до бесконечности.