Observationes Domini Petri de Fermat

Ad quæstionem XXXII Libri V.

^{Invenire tres quadratos, ut compositus ex ipsorum quadratis faciat quadratum.}

Cur autem non quærat duo quadratoquadratos quorum summa sit quadratus? Sanè hæc quæstio est impossibilis, ut nostra demonstrandi methodus potest haud dubie expedire.

Перевод:

Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых была бы квадратом? Конечно, потому, что эта задача невозможна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства.

OBSERVATIO D. P. F XXXIV (p. 287)

Ad commentarium in quæstionem III Libri VI.

^{QUÆSTIO DIOPHANTI. — Invenire triangulum rectangulum, ut areæ eius numerus, adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.}

^{BACHETUS… Quoniam vero hinc forte venit in mentem Francisco Viete[40] quæstionem applicari posse solis numeris qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat 5, e, duobus quadratis compositum; quamvis ex ipso ductu analyseos Diophanteæ satis constet ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam experientia comprobare…}

Error Vietæ indè haud dubiè oritur. Supposuit vir clarissimnus differentiam duorum quadratoquadratorum, ut 1qq. — 1. æquari areæ cui adijciendo quintuplum quadrati fiat quadratus, si 5. numerus datus dividatur in duos quadratos poterit inveniri quintuplum quadrati à quo demptâ unitate supersit quadratus.

Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse 1.N. + 1. aut alius quivis numerorum numerus + 1. quintuplum quadrati illius erit 5Q + 10.N. + 5 cui si adiicias aream 1QQ — 1 fiet 1QQ + 5Q + 10.N + 4. quæ summa debet æquari quadrato, hoc autem non est operosum. Cum numerus unitatum ex hypothesi adjectâ problemati, sit quadratus. Non vidit Vieta quæstionem perinde resolvi posse si loco 1QQ — 1 sumpsisset pro areâ 1 — 1QQ. eo enim deducenda statirn quæstio ut datus numerus 5 vel 6. vel alius quilibet in quadraturm ductus adjectâ unitate conficiat quadratum quod generaliter est facillimnum cum unitas sit quadratus.

Nos peculiari methodo[41] quæstionem hanc et duas proximas[42] resolvimus, cuius beneficio dum quærimus triangulum cuius area unâ cum 5 v . g. [verbi gratia] conficiat quadratum triangulum in minimis[43] exhibemus ⁹/₃ ⁴⁰/₃ ⁴¹/₃ cuius area 20 addito 5 facit quadratum 25. sed de ratione et usu nostræ huius methodi non est huius loci plura addere, non sufficeret sanè marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.

Перевод:

Ошибка Виета[44], без сомнения, имеет такое происхождение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X⁴ — 1, чтобы при прибавлении упятеренного квадрата получился квадрат.

Поскольку заданное число 5 является суммой двух квадратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, уменьшенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квадрата, который нужно упятерить, равной X + 1, причем вместо +1 при X можно взять любое другое число. Упятеренный квадрат от этого будет

5X² + 10X + 5,

он после прибавления площади X⁴ — 1 даст

X⁴ + 5X² + 10X + 4,

что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число единиц является квадратом вследствие предположения, присоединенного в качестве условия.

Но Виет не заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X⁴ — 1 взять 1 — X⁴, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, б или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.

Мы решили эту и две последующие задачи особым методом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.

Но здесь не место для развития принципа и применения этого метода; для этого недостаточны размеры полей, так как нам надо много сказать по этому поводу.

OBSERVATIO D. P. F XXXV (p. 289)

Ad quæstionem VI Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum.}