Observationes Domini Petri de Fermat

Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследованию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение; однако мы приведем только один пример, сами числа которого покажут, что они были найдены не случайно, но с помощью регулярного метода.

В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета другого отношение, как 5 к 11.

Вот два таких треугольника:

первый треугольник имеет

гипотенузу 48543669109,

основание 36083779309,

высоту 32472275580,

второй треугольник имеет

гипотенузу 42636752938,

основание 41990695480,

высоту 7394200038.

OBSERVATIO D. P. F XXXI (p. 255)

Ad quæstionem XXX Libri V.

^{Dato numero tres adinvenire quadratos quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadraturn.}

Huius quæstionis beneficio, sequentis quæstionis solutioneml dabimus quæ alioquin difficillima sane videretur.

Dato numero, quatuor invenire numeros quorum bini sumpti adscitoque dalo numero faciant quadratum. Sit datus numerus 15 et primim per hanc quæstionem reperiantur tres quadrati quorum bini sumpti adscitoque dato numero faciant quadratum. Et sint illi tres quadrati[39]

25. ¹/₁₀₀ ⁵²⁹/₂₂₅.

Ponatur prinmus quatuor numerorum quaesitorum 1Q + 15.

Secundus 10N + 25. (quia 25 est unus ex quadratis, 10N autem est duplum lateris in N.)

Tertius eâdem ratione ponatur ¹/₅N + ¹/₁₀₀, quartus denique ⁴⁶/₁₅N + ⁵²⁹/₂₂₅. Ita quippe institutis positionibus tribus propositi partibus satisfit, quilibet enim numerorum unâ cum primo adscito 15 facit quadratum. Superest ut secundus et tertius addito 15, item tertius et quartus addito 15, denique secundus et quartus, eodem addito 15 faciant quadratum et oritur triplicata æqualitas cuius solutio in promptu cum ex constructione cuius artificium ab hac quæstione desumpsimus in quolibet termino æquando reperiantur unitates tantum quadratæ et numeri. Recurrendum igitur ad ea quæ diximus ad quæstionem uigesimamquartam libri sexti.

Перевод:

Благодаря этой задаче мы получаем решение вопроса, который без этого казался очень трудным:

Дано число, найти четыре числа, сумма любых двух из которых при прибавлении данного числа образует квадрат.

Пусть дано число 15; сначала найдем по методу этой задачи три числа, сумма любых двух из которых вместе с заданным числом образует квадрат. Пусть эти три квадрата будут 9, 1/100, 529/225.

Положим первое из искомых четырех чисел равным X² — 15, второе 6X + 9 (где 9 является одним из найденных квадратов, а 6 — коэффициент при X — удвоенная его сторона); по тем же соображениям третье положим X + ¹/₁₀₀ и, наконец, четвертое ⁴⁶/₁₅X + ⁵²⁹/₂₂₅.

Благодаря этому три из условий удовлетворяются, так как если взять сумму первого числа и какого-нибудь из оставшихся и если прибавить 15, то будет квадрат.

Нужно еще, чтобы получились квадраты, если прибавить 15 либо к сумме второго и третьего, либо к сумме третьего и четвертого, либо к сумме второго и четвертого. Получится тройное равенство, решение которого очевидно, так как конструкцией, метод которой мы заимствуем из данпой задачи, можно в каждом из выражений, которые мы приравниваем квадратам, сделать свободный член квадратом. Смотри по этому поводу сказанное нами относительно задачи VI₂₄ [в настоящем издании к VI₂₂ — И. Б.].

OBSERVATIO D. P. F XXXII (p. 257)

Ad quæstionem XXXI Libri V.

^{Dato numero tres adinvenire quadratos, quorum bini sumpti detracto dato numero faciant quadratum.}

Quo artificio in superiore quæstione usi sumus ut quatuor numeros inveniremus quorŭ bini sumpti adscito dato numero conficerent quadratŭ, simili in hac quæstione uti possumus, ut inveniăntur quatuor numneri quorum bini sumpti detracto dato numero conficiant quadratum. Ponendus enim primus 1Q + numero dato. Secundus quadratus primus ex inventis in hac quæstione una cum duplo ab ipsius latere in N. et reliqua patent.

Перевод:

Способом, аналогичным примененному к предыдущему вопросу о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, увеличенная на данное число, образует квадрат, можно решить и этот вопрос о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, уменьшенная на данное число, образует квадрат.

А именно положим: первое число равным X² + данное число, второе число — сумме первого квадрата, найденного в этой задаче, и удвоенной его стороны, умноженной на X, и т. д. Остальное очевидно.

OBSERVATIO D. P. F XXXIII (p. 258)