Observationes Domini Petri de Fermat

^{Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus 1Q, et rursus quadrati qui queæruntur, sumantur ex triangulis rectangulis, unus a 16/25, alter a 25/169, tertius 64/289; statuo eos in quadratis, et manet 1Q, quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus æquetur 1Q: est autem solidus ille (25600/1221025)CC; hoc ergo equatur 1Q, et omnia per 1Q dividantur, fiunt (25600/1221025)QQ æqualia I. Est autem unitas quadratus, latus habens quadratum. Ergo oportebat etiam (25600/1221025)QQ esse  quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inveniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum.* Et si omnia dividamus per productum ex hypotenusa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenusæ in perpendiculum, alicujus rectanguli, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. 4. 5. Eo itaque deventum est, ut inveniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi, numeri hypotenusæ et perpendiculi sit 20. Si autem 20 et 5. et est facile, quippe majus est 5. 12. 13. minus 3. 4. 5. Ab his ergo quærenda sunt alia duo, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi sit 6. est autem majoris hypotenusa 6½, perpendiculum 60. Minoris autem hypotenusa 2½ qui vero in uno rectangulorum 12. et accipientes minima similium, recurrimus ad propositum initio, et ponimus solidum sub tribus contentum 1Q. ipsorum autem quadratorum alterum 16Q. alterum 576Q. tertium (1/28561)Q. Superest ut solidus sub tribus æquetur 1Q. et omnia in 1Q. latusque lateri æquetur, et invenietur 1N.65. Ad positiones.*}

Ad elucidationem et explicationem quæstionis 25. iuxta methodum Diophanti quam Bachetus similiter prætermisit[37] quærenda sunt duo triangula rectangula ut productum sub hypotenusa et perpendiculo unius ad productum sub hypotenusa et pelpendiculo alterius habeat rationem datam.

Quæ sanè quæstio diù nos torsit et verò difficillimam quilibet tentando experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsius solutionem methodus.

Quserantur duo triangula ut rectangulum sub hypotenusa unius et perpendiculo, rectanguli sub hypotenusa alterius et perpendiculo sit duplum.

Fingatur unum ex triangulis ab A et B. alterum ab A et D. Rectangulum sub hypotenusa prioris et perpendiculo erit B in A cubum bis + B cub. in A. bis, rectangulum verò sub hypotenusa posterioris et perpendiculo erit D. in A. C. bis + D. C. in A. bis, cum igitur B in A. C. bis + B. C. in A bis sit duplŭ rectanguli D in A. C. bis + D. C. in A. bis, ergo B in A. C. + B. C. in A. æquabitur D. in A. C. bis + D. C. in A. bis et omnibus abs A divisis fiet B in A. quadratum + B. C. æquale D. in A Q bis + D. C. bis et per antithesin D. C. bis — B. C. æquabitur B. in A Q. — D. in A. Q. bis, si igitur D. C. — B bis C. divisum per B — D bis æquetur quadrato soluta erit quæstio.