Observationes Domini Petri de Fermat

Methodum Diophanti quain non percepit Bachetus[32] ita restituo, et explico. Quoniam primum triangulum est 3. 4 5 et rectangulum sub lateribus 12. eò deventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum, prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus (et ratio est quia tune productum ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12 atque ideo eorum mutuâ multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio) sequitur Diophantus, Proinde et area areæ 12.[33] quod per se clarum est. Deinde (si autem 12 et 3) quia dividendo 12. per quadratunm 4 fit 3. et semper in multiplicatione oritur quadratum, nam quadratum divisum per quadratum facit quadratum. Reliqua Diophanti non præstant propositum, sed ita restituemus. In hoc casu[34] fingatur triangulum abs 7. et 2. alterum vero abs 5. et 2. et primum triangulorum erit triplum ad secundum, et duo proposito satisfacient. Regula autem generalis inveniendi duo trianlgula rectangaula in ratione datâ hæc est. Sit data ratio R. ad S. maioris ad minus, maius triangulum formabitur abs R bis + S et R. — S. Minus vero abs R. + S. bis et R. — S. aliter. Formetur primum triangulum abs R bis — S et R + S. secundum abs S bis — R. et R + S. aliter. Formetur primum triangulum abs R sexies Et R bis — S, secundum abs R quater + S et R quater — S. bis, aliter formetur primum triangulum abs R + S. quater et R bis — S quater, secuncum abs S. sexies et R — S bis, Ex iam dictis deduci potest methodus inveniendi tria triangula rectangula in proportione triam datorur numerorum modo duo dati numeri reliqui sint quadrupli, sint v. g. [verbi gratia] dati tres numeri R S. T et sint ipsi R. T. simul quadrupli S. formabuntur sic tria triangula.

Primum abs R + S. quater et R bis — S quater, secundum abs S .sexies et R — S bis, tertium abs S quater + T et S quater — T bis. sumpsimus autem R esse maiorem T.

Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula rectangula numero quorum areæ constituant triangulum rectangulum, eò enim deducetur quæstio ut inveniatur triangulum cuius basis et hypotenusa sint quadrupla perpendiculi. Hoc autem est facile et eril triangulum simile huic 17. 15. 8. tria verò triangula sic formabuntur, primum abs 49. et 2. secundum abs 47. et 2. tertium abs 48 et 1.

Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula quorum areæ sint in ratlone trium quadratorum datolrum quorum duo sint quadrupli reliqui ac proinde poterunt eâdem viâ inveniri tria triangula eiasdem areæ[35].

Imo et infinitis modis possumus construere duo triangula rectangulca in data ratione ducendo unum ex terminis aut utrumque in quadrata data etc.

Перевод:

Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта, который Баше не понял.

Взяв в качестве первого треугольника (3, 4, 5), для которого произведение сторон, содержащих прямой угол, есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого“.

Основа этого заключается в том, что если перемножить между собой эти два произведения, то получится плоское число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число на 12, получим квадрат, что и требуется в задаче.

Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого“, — что ясно само по себе. Далее: „Но если в 12, то можно и в три“; действительно, разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно жение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление квадрата на квадрат дает квадрат.

Продолжение текста Диофанта не доставляет решения задачи, но мы восстанавливаем его так:

В данном случае образуем один из треугольников из чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они удовлетворяют задаче.

Вот общее правило для нахождения прямоугольных треугольников, площади которых находятся в заданном отношении.

Пусть заданное отношение будет R к S и R больше S. Больший треугольник образуем из

2R + S и R — S,

меньший — из

R + 2S и R — S.

Иначе[36].

Первый треугольник образуем из 2R — S и R + 2S, второй треугольник образуем из 2S — R и R + S.

Иначе.

Образуем первый треугольник из 6R и 2R — S,

образуем второй треугольник из 4R + S и 4R — 2S.

Иначе.

Образуем первый треугольник из R + 4S и 2R — 4S.

образуем второй треугольник из 6R и R — 2S.

Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников, площади которых пропорциональны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих чисел равнялась учетверенному, оставшемуся.