Observationes Domini Petri de Fermat

^{Invenire tres numeros, ut cubus summæ eorum, quovis ipsorum detracto, faciat cubum. Ponatur rursus trium summa 1N. et ipsi (7/8)C, (26/27)C, (63/64)C. Superest ut tres conjuncti æquentur 1N. fit ergo (4877/1728)C æquale 1N. et omnia per numerum dividantur, fit (4877/1728)Q aquale 1. est autem 1 quadratus. Oportebat ergo et numerum quadratorum esse quadratum: unde autem is natus est? Quod a ternario subducti sunt tres cubi, quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res redit, ut inveniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipsorum a ternario sublata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si statuamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur oportebit majorem esse binario. Statuatur quadratus qui relinquitur 2¼. Oportet igitur ¾ dividere in tres cubos et horum multiplicia secundum aliquos cubos divisa. Esto secundum 216. Oportet igitur ut dividamus 162 in tres cubos. At 162 componitur ex cubo 125 et intervallo duorum cuborum, 64 et 27. Habemus autem in porismatis, omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. Recurramus ad propositum initio et sumamus unumquemque cuborum inventorum, et quolibet ab unitate subtracto, residua statuamus pro quæsitis numeris et sit summa 1N. Ita fiet ut cubus summæ, quovis ipsorum detracto, cubum faciat. Restat ut tres simul æquentur 1N. fit autem trium summa 2¼C. Hoc ergo æquatur 1N. unde fiet 1N, ⅔. Ad positiones.}

Solutionis modum Diophantus non exprimit, aut græca corrupta sunt. Bachetus[30] casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen non admittimus, cum Diophantæam methodum non difficilem inventu existimemus, inveniendus quadratus binario major ternario minor qui à ternario subtractus relinquat numerum in tres cubos dividendum. Ponatur quæsiti quadrati latus esse quemlibet numerorum numerum — unitate v. g. [verbi gratia] 1.N — 1. ipsius quadratus à ternario subtractus relinquit 2 — 1Q + 2N. cui inveniendi tres cubi æquales qui sic effingendi ut æqualitas tandem consistat inter duas tantum species proximas, id quidem innumeris modis construi potest. Sit unius ex cubis latus 1 — ¹/₃N. alterius (ut numerus numerorum in ambobus cubis conficiat 2N.) sit 1 + 1N. tertii latus in numeris dumtaxat fingendum, qui etiam ne valor 1N. quæsitos terminos evadat, debent notari signo defectus, nec est operosum eum numerum numerorum sumere cuius valor æquationem ad præstitutos redigat terminos, hoc peracto patet primum ex cubis esse minorem unitate ut quærebamus, cum igitur secundus sit major et tertius signo defectfus notetur, patet differentiam secundi et tertij æquandam esse duobus cubis quam ob rationem ad secundam operationenm et Diophantus et nos devolvimur.

Habemus autem, inquit, in porismatibus omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis.

Hæret iterum Bachetus[31] et destitutus porismatibus Diophanteis, hanc quæstionem secundam determinatione indigere contendit, duorum quippè cuborum intervallum eâ tantum conditione in duos cubos dividere docet dummodo maior datorum cuborum excelat duplum minoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum dividatur in duos cubos ignotum sibi ingenuè profitetur. Nos supra ad quæstionem libri 4. secundam, et hanc et reliquas huius materiæ quæstiones generaliter construendi modum fæliciter deteximus.

Перевод: